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MTH3251— Assignment 2

Semester 2, 2022

In what follows (Bt), t > 0 denotes the Brownian motion process started at zero.

1. Let Xt = µt + σBt, with some constants µ and σ, and the stock price be given by St = eXt .

(a)  Derive the stochastic differential equation for St .

(b)  Show that percentage price changes St/Su  for u < t are independent of

Sr, r < u.

(c)  Give the mean and the variance of St .  Hint:  use the moment generating function of Normal distribution.

(d)  Give the values of µ for which the process St is a martingale, and show why it is a martingale. Hint: use martingale property of stochastic integral.

(e)  Calculate the mean and the variance of the stochastic integral  ＋T et尸BtdBt . 

[25 points]

2. Let the wealth of a company at time t be modelled by Xt = x + µt + σBt, where x, σ are positive numbers.  In this question we consider two different cases: positive drift µ > 0 and negative drift µ < 0.  Let T = T＋  be first time when the process (Xt) hits 0. Denote the probability of ruin Ψ(x) = P (T < o).

(a) Let µ > 0. Show that Ψ(x) < e2R北 with R = 2µ/σ2 .

Hint: Show that Mt = e2RXt   is a martingale. Then stop it at T A N, and argue just like for ruin probabilities in a Random Walk.

(b)  Show that P (T = o) > 0 when µ > 0. Deduce the value of E(T).

(c) Let V be a positive continuous random variable. Show that

E(V) =   ＋o P (V > t)dt.

Hint:  E(V) =   ＋o tfV (t)dt.  Write t =    du, then change the order of

integration in the double integral.

(d) Let µ < 0. Show that E(T) < o. Deduce that Ψ(x) = 1.

Hint:  Show that P (T > t) < P (Xt  > 0), then use (b) together with the bound for P (Xt  > 0) given in Q2 of Assignment 1.

[25 points]

3. Let the process (Xt), t > 0, solve the SDE

dXt = _Xtdt + dBt,  X＋  e R.

(a)  Show that the process Yt  = etXt  has independent Gaussian increments,

and give the distribution of the increments over the time interval [s, t].

(b)  Show that the process  (Xt) has Gaussian increments, but they are not

independent.

(c)  State with reason whether the process (Xt) is a Gaussian process and give its mean and covariance functions.

(d)  Derive the conditional expectation E(XtlXs) for s < t.

(e)  Show that if X＋  has distribution N (0, 1/2) and is independent of the pro-

cess (Bt), then for any time t, Xt  has N (0, 1/2) distribution.

[25 points]

4. Let Xt = (1 _ t)   dBs, and Yt =   dBs  for 0 < t < 1.

(a)  Show that the process (Yt) is well defined for t < 1, and it is a martingale.

(b)  Show that the process (Xt), 0 < t < 1, solves the stochastic differential

equation

Xt  

(c)  State with reason whether the process (Xt) is a Gaussian process.

(d)  Calculate the mean and covariance functions of the process (Xt).

(e) Let Zt  = Bt _ tB1, 0 < t < 1.  State with reason why processes (Xt) and (Zt) is the same Gaussian process (called Brownian Bridge).

Hint: Calculate the mean and covariance functions for (Zt). Then use Q2 of Homework 4.

[25 points]