Problem 1

We can view c as a binary relation between sets, because given any two sets A, B, either A c B or A c\ B . Let S be an arbitrary nonempty set and p(S) its power set. Is c a partial order on p(S)? Is it also a total order? Explain.

Problem 2.

Suppose R is a total order on S where |S| is finite.  Prove that there exists a mapping f : S - R such that f(x) > f(y) if and only if xRy .

Problem 3.

Is d(x, y) = |x2 - y2 | a metric on R2? Explain.

Problem 4.

Define d : R2  - R＋  such that d((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max{|x1  - y1 |, |x2  - y2 |}. Show that d is a metric on R2 .

Problem 5.

Let (S, d) be a metric space and (xi ) be a sequence in S. Prove that if xi  - x and xi  - y, then x = y .

Problem 6.

Suppose xi  - x and yi  - y in (R, dE ). Prove that xi yi  - xy .