In  this  problem  set  you  will  use  Matlab  to  compute  contingent  market  equilibria for  two-period economies .  The idea is to get a numerical feel for how the  equilibrium consumption streams of the agents and the prices of the contingent contracts behave in equilibrium, as we change the parameters of the underlying economy.  In a later problem set we will study how contingent market & financial market equilibria are related and how this gives us  crucial insight into the way prices  of securities are determined in equilibrium.  Remarkably you will discover later that the contingent market prices that  you find  in  this  problem  set  are  exactly  the  same  as  the  imputed prices  that  appear  in  the apparently  unrelated  setting  of the  Black-Scholes pricing formula.   Pretty  wild — yes .   So  hang  in and you will get some really fundamental insight into pricing and much more .  Try to express your answers carefully and thoughtfully.  Make it a habit to  be very clear with what you write .

Consider an economy with 3 agents (i = 1, 2, 3). Suppose there is only one good and two dates (t = 0, 1) with 4 possible states at date 1.  Agents have expected utility preferences with possibly different subjective probabilities os(i)  for the states

4

ui(z0(i), z1(i), z2(i), z3(i), z4(i)) = vi(z0(i)) + oi         os(i)vi(zs(i)),    i = 1, 2, 3

s=1

For this problem set we consider the constant relative risk aversion case vi(5) = a(ai + 5)1←a and

oi = 0.95 for each i. Think of agents 1 and 2 as entrepreneurs who have already made investments in projects (firms) that they own, and hence have no income left at date 0 but have a random income stream at date 1.  Agent 3 is an investor with income (funds) at date 0 and no income at date 1. The agents’ endowment streams are given by

┌      0      ┐

u1 =   b1 + e1   

' b1 = e1   '

┌      0      ┐

u2 =   b2 = e2   

' b2 + e2   '

┌'0(b3) ┐'

u3 =    0   

'  0   '

'      '

where the e shocks to firms 1 and 2 are independent random variables.

A. State Space & Probabilities.

(i)  Show that the state space s can be written as s = s1  ′ s2  where si  denotes the outcomes (high or low) for firm i, i = 1, 2.

(ii) Let pr(k, i) denote agent i\s subjective probability (i = 1, 2, 3) for success (high output) of firm k . Find os(i)  for s = 1, 2, 3, 4, i = 1, 2, 3.

B. Contingent Market (Arrow-Debreu) Equilibrium

(1) Let’s start with the case where there is no  risk, e1  = e2  = 0.  Let b1  = b2  = 500, b3  = 1000, a1  = a2  = a3  = 0, a = 2 and suppose that agents have identical beliefs with pr(1, i) = pr(2, i) =  .

( a) Find the Arrow-Debreu (AD) equilibrium (or rather the best approximation that you can find with Matlab. Be careful to check that the errors are small).

(b) Explain why the AD prices of the state at date 1 are constant and how they are related to o and o.

(c) Explain the net trades i  = i = ui , i = 1, 2, 3.  Could the outcome be achieved by just borrowing and lending (just explain the intuition).

(d)  Calculate the implied interest rate in this equilibrium.

(2)  To introduce uncertainty let e1 = 100, e2 = 200.

( a) Find the Arrow-Debreu equilibrium and show that the AD prices s  are related to the aggregate output ws = us(1) + us(2) . Explain.

(b)  Show that the date 1 consumption stream of each agent, which we denote by 1(i), covaries with the aggregate output w =    i(3)=1 ui  (more precisely its date 1 component).  In fact show that you can find  (ci, di),  i  =  1, . . . , 3,     i(3)=1 ci   =  0,      i(3)=1 di   =  1,  and 1(i)  = ci11 + diw1 (where 11 = (1, 1, 1)) . Interpret.

(c) Explain the net trades i  = i = ui .  Could this equilibrium be achieved by borrowing and lending?

(3)  Suppose the probability beliefs of agents 1 and 2 are unchanged but that now the investor (agent 3) is more optimistic about the good outcome for each firm: pr(1, 3) = pr(2, 3) =  .

( a) Find the Arrow-Debreu equilibrium.

(b) How has the equilibrium changed relative to (2)? Try to explain.

(4)  Suppose the economy is as in (2) but that the preference parameter ai of agent 3 is now given by a3 = 500.

(a) Find the AD equilibrium  and show that you can find  (ci, di),  i  =  1, 2, 3 such that

i(3)=1 ci = 0,     i(3)=1 di = 1, and z1(i) = ci11 + diw1 . Compare with the coefficients that you found in question 4(b) and interpret.

(b)  To what numbers do the coefficients di converge when a3 gets larger? What’s happening to risk sharing?

(5) In the previous questions there were two basic reasons for trading:  to redistribute income across time and to share risks. Let us now show that there can be a third reason for trading: differences in beliefs. Suppose that the agents endowments are changed to

┌      b1        ┐

u1 =   b1 + e1   

' b1 = e1   '

┌      b2        ┐

u2 =   b2 = e2   

' b2 + e2   '

┌ b3  ┐

u3 =   b3   

' b3   '

with b1 = b2 = b3 = 500 and e1 = e2 = 0. Think of the variation in profit as being small( the e are small) and we study the limit where e = 0.

(a)  Suppose the agents have identical beliefs pr(1, i) = pr(2, i) =  , i = 1, 2, 3. Find the AD equilibrium. Explain.

(b)  Suppose now that the agents have different probability beliefs about the  “success” of each firm:

pr(1, 1) = 2/3 pr(1, 2) = 1/3 pr(1, 3) = 3/4

pr(2, 1) = 2/3

pr(2, 2) = 1/2

pr(2, 3) = 1/4