1.  [Total:  9  marks] Bob is the proud owner of the restaurant  ìHungry Bob.î The only product Hungry Bob sells is Bobís burger, which is priced at $10 each.  The number of Bobís burgers sold on a day, denoted N, follows a normal distribution with mean 400 and standard deviation 50.

(a)  [3 marks] What is the probability that the daily revenue exceeds $5,000?

It is known that the total daily cost, denoted C, follows a normal distribution with mean $1,000 and standard deviation $300. The correlation between C and N is 0.8. Let P denote the total daily proÖt.

(b)  [1 mark] Express P in terms of C and N .

(c)  [2 marks] Compute E(P).

(d)  [3 marks] Compute Var(P).

2.  [Total:  16 marks] The government reported that the infection rate of COVID-19 is 0.2. Let Y denote the number of people infected with COVID-19 in a random sample of 5 individuals.

(a)  [3  marks] What is the distribution of Y?   Name the distribution and specify its

parameter(s).

(b)  [3 marks] Compute P(Y > 1).

(c)  [4 marks] Compute P(Y > 2|Y > 1).

(d)  [6 marks] Simon wanted to test whether the true infection rate is higher than 0.2. He collected a random sample of 100 individuals.  It was found that 27 individuals were infected with COVID-19. Carry out a hypothesis test for Simon at the 5 percent signiÖcance level. Show all your steps. A complete response should include:

i. setting up the null and alternative hypotheses;

ii. deÖning an appropriate test statistic;

iii. stating the distribution of your test statistic under the null hypothesis;

iv. computing the test statistic based on the sampled data;

v. making a decision using a correct method (e.g., critical value approach or p-value approach); and

vi. drawing a conclusion.

3.  [Total:  15 marks] Carol is a trader for an investment bank in Wall Street. She is studying the tick movement of a blue chip stock. Let X denote the price change (in number of ticks). The probability density function of X is given below.

(a)  Compute the following:

i.  [2 marks] E(X)

ii.  [2 marks] E(X2)

iii.  [2 marks] sd(X)

(b) Let S denote the sign of X, deÖned below

í  _1

S =       0

(   1

if X is negative,

if X = 0,

if X is positive.