1)  For freshly deposited sands, the rate of change in void ratio, e during unloading under isotropic conditions (ax  = ay  = az ) can be approximated by the following elasticity equation,

de = − 

(1)

where p ′  =  (axx  + ayy  + azz ) and K is the elastic bulk modulus obtained from

K =  ()a

(2)

in  which  K0  = 160 +  the last two digits of your student ID  is  a  material  parameter  and patm  is the atmospheric pressure (100 kPa).

Q1: The initial p’ = 900 kPa. Also, the initial e = 0.85.

During an unloading process, by assuming a = , what will be the change in the void ratio, ∆e if p’ reduces to 1 kPa.

a)  Develop a closed-form equation for obtaining ∆e as a function of ∆p′ . Based on this equation, calculate the exact changes in e .

b)  Plot the changes in e (Y-axis) against p’ (X-axis). Use a logarithmic scale for p’ .

c)  Develop and program an explicit integration scheme based on the adaptive substepping technique to calculate ∆e during this unloading process. Set dp′  = −10.0 kPa in all the coming analyses. Also, set the integration tolerance to 10 −1 , 10 −5 , and 10 −12 . Report the number ofsubsteps for each analysis. Also, report the relative error for each analysis

which is calculated from:

en  − ec

where en  and ec  are the value of void ratio at the end of the unloading stage calculated by  numerical  analyses  and  the  closed-form  approach,  respectively.  Explain  your conclusion on the accuracy when tighter tolerances are  selected. Will you  see an increase or decrease in the relative error and the number of substeps? Why?

d)  Repeat step a) (closed form solution) by assuming a =  and present a plot that shows the changes in the void ratio predicted by the values of a and the one used in step a).

Will you see an increase or decrease in the final void ratio? Why?

In all the coming analyses, use a = 2.

Under elevated stress levels and high confining pressure, sand particles can crush, and the sand can reach a Limiting Compression Curve (LCC) where particle fragmentation can cease. The void ratio on the LCC regime during isotropic loading can be obtained by a straight line in the bilogarithmic space defined by (ln e and ln p′) s follows:

ln e = ln NI  −  入 ln p′                                                                                                                          (3)

where 入 = 0.36 and NI  = 10 are two material parameters.

Based on the above equations, the void ratio increment of freshly deposited sands during isotropic loading can be obtained by

de = (A (1 − (sgn 6p )|6p |e ) −  (sgn 6p )|6p |e )

(4)

where A is a function that describes the void ratio changes on the LCC and must be obtained per Equation 3. (Hint*: To obtain A you must write Equation 3 in the incrementalform similar to the one presented in Equation 1).

Also, e = 0.18 is a material parameter and sgn 6p  is the sign function defined by

sgn 6p  = { 0      6p  = 0

6p    = 1 −

where iso  is the value of p′ on the LCC and is obtained by equation 3 as follows

NI    1

iso  = ( e )入

(5)

(6)

(7)

Q2: After unloading, the soil is uniformly loaded to attain a p′ of 7000 kPa.

a)   Calculate the changes in e during the loading process by using an explicit integration scheme with adaptive substepping with a tolerance of 10 −5  and dp′  = 10.0 kPa .

To do this analysis, set the initial void ratio to thatpredicted by the closed-form solution in the previous question.

On the same graph plot LCC per the closed form solution presented in equation 3.

b)  With the applied pressure of 7000 kPa, will you reach the LCC regime where particle crushing is significant? What happens when you change e to 0.4? Will you see a faster transition toward LCC or a slower one? Why?

Plot the results obtained from both analyses (e = 0.4 and e = 0. 18) and LCC in a single graph and attach it to your report.

Q3: After this loading process, the soil is first unloaded to 1 kPa, and then subjected to 12 cycles of load/unload in which the soil is loaded to 2500 kPa and then unloaded to 10 kPa. By using the same stress integration strategy (mentioned in Q2 with |dp′ | = 10.0 kPa), calculate the total plastic changes in e during the 12 load cycles. Also, plot the graph of the void ratio (Y-axis) versus the number of cycles (X-axis).

Note that the plastic changes during each cycle will be obtained by:

The changes in the void ratio during the loading process + the change in void ratio during the unloading process, asfollows

dep  = deL  + deU                                                                                                                                                                                      (8)

where deL  is the void ratio changes during the loading process and  deU  is the void ratio changes during the unloading process.

2)  For the following yield surface, f  write the consistency equation and find explicit definitions of the plastic multiplier and plastic modulus.

Also, obtain explicit definitions of the elastic stress-strain matrix and the elastoplastic stress-strain matrix for a plane strain condition.

f = |q| − mp′√ 1 − ()

(9)