1.  Consider the so-called linear probability model

yi = β0 + β1xi + ui

where yi  can be either 0 or 1.  In particular, we assume that Pr(yi  = 1 | xi) = β0 + β1xi .

(a)  Show that E(ui  | xi) = 0.

(b)  Show that var(ui  | xi) = (β0 + β1xi)(1 − (β0 + β1xi)).

(c)  Comment on results (a) and (b) and on how the statistical properties of the OLS estimators for β0 , β 1  could be affected.

2.  Suppose that we are given the return for N assets in January 2004  (ri,J04, i = 1, ..., N) as well as the return for the same assets in December 2004 (ri,D04, i = 1, ..., N).

Assume that when N = 24 we have that the standard deviation of the ri  is equal to 0.5087 for Jan 04 and equal to 0.3645 for Dec 04.  Moreover the correlation between the ri,J04  and ri,D04  is 0.8753.

(a) Are we able to estimate at least some of the parameters of the linear regression model

ri,D04 = α + βri,J04 + ∈i,  i = 1, .., N?

(b)  Can we test the hypothesis that

H0  : β = 1  against H1  : β < 1 ?

(c)  Can we derive the R2  of the regression?

3. Let y1 , ..., yT , x1 , ..., xT  be a random sample from the model

yi = βxi + ∈i ,

where E(∈i) = 0, var(∈i) = 1, E(xi) = µx    0, var(xi) = σx(2), where xi, ∈j  inde- pendent from each other for any i, j .

Define the estimator

where  = 1/T     xt , y¯ = 1/T

β˜ = y¯

t=1 yt .

(a)  Recalling the  asymptotic properties of the sample mean of a set of i.i.d. observations,  show that  β˜ converges in probability to  β  (Hint:  g() is  a consistent estimator of g(α) if g(.) is a continuous function and the vector  →p α).

(b) Is β˜ as efficient as, or more than, or less than the OLS estimator for β? Derive the sample variance of β˜ and the variance of the OLS βˆ and comment on the results.

4. In the simple regression model

yt = α + βxt + ut,  t = 1, ..., n,

where  xt  > 0 for all data points  and ut ∼ NID(0, σ0(2)/xt(2)).

(a) Write down the OLS estimators  , βˆ and show that they are unbiased. (b) Show that the variance of βˆ is

var(βˆ) = σ0(2)      (xt − )2 /xt(2)

Is the OLS estimator BLUE? Discuss.

5. Assume that a random sample (x1 , ..., xn) is observed where each xi  is the realiza- tion of a random variable with density:

f (x) =

(a) Derive the MLE of θ .

(b) State the asymptotic distribution of the MLE working out the asymptotic variance.

(c) Assume that we are interested in

γ = θ 2 .

Based on (b) derive the MLE of γ and its asymptotic distribution, spelling out its asymptotic variance.

6.  (a) For the linear regression model

y = Xβ + u,

where β = (β1 , β2 , β3 )\ , derive the expression for R, r, stating the value of q (num- ber of restrictions) such that the following hypotheses

(i) H0  :   β 1 = 2;

(ii) H0  :   β 1 = β2 ;

(iii) H0  :   β 1 − β2 = β3 ,

can each be written as

H0  :   Rβ = r,