1. Prove the Gauss equation by using the Levi-Civita Connection and the Riemann curvature tensor.

2. Prove the Gauss’s remarkable theorem by using the Levi-Civita Connection and the Riemann curvature tensor.

3. Prove the local Gauss-Bonnet theorem by using the orthogonal parametrization.

4.  Calculate all Christoffel symbols of the following Riemannian metric g on M = ((x, y, z) e R3  : x > 0}

5.  Consider the surface of revolution defined by a smooth positive function f : R → R>0 ,

r(u, v) = (f (u) cos v, f (u) sin v, u).

Show that the curves given by u(t) = a, where a is a constant, and v(t) = t/f (a) are geodesics if and only if f\ (a) = 0.

6. From the problem 5, compute formulae for general geodesics including meridians and parallels.