Problem 1. You have purchased one call option expiring in one year with a strike price of $40. The current price of the underlying is $40, the interest rate is zero, and the premium for the call option is $2.28.

(1) (5 points) Draw the payof and P&L diagrams for the call option at expiration.

(2) (5 points) What is the P&L on the option at expiration if the underlying is $57.50 (i.e. S1  = 57.5)?

Problem 2. You have purchased ten call options expiring in one year with a strike price of $100. Simultaneously you enter a short position on the corresponding under- lying for ten shares. The current price of the underlying is $100. The interest rate is 3% efective for one year. Due to some market data errors, the premium for the call option is zero.

(1) (5 points) What is the P&L for your position after one year?

(2) (5 points) Instead of taking a short position in the underlying for ten shares you have decided to go short on a forward contract for 10 shares expiring in one year. As before, the current price of the underlying is $100. What is the P&L for your position after one year?

Problem 3. The S&R index spot price is $200 and the continuously compounded risk-free rate is T = 5%. You observe a 15-month forward price of $210.

(1) (4 points) What dividend yield is implied by this forward price?

(2) (6 points) Suppose you believe the dividend yield over the next 15 months will be 0.5%.  What arbitrage would you undertake?  Create a table to show your synthetic forward and how you efect the arbitrage.

Problem 4. The S&P 500 total return index is currently trading at 4, 400.   The continuously compounded risk-free rate is T = 0.045.  The price of a European call option on the S&P 500 total return index expiring in one year with a strike price

of 4, 400 is 525. You have decided to invest $5,000 in an equity-linked CD maturing in one year that guarantees the return of your original investment plus a certain percentage of any upside gain in the S&P 500 total return index over the year. If the market is arbitrage-free, what percentage of any upside gain in the S&P 500 total return index over the year do you expect to receive?  i. e. what is the participation rate?

1.  Solution

Problem 1 . (1) The payof from the call option is the function

Payof = (S1  — 40)+

and the proit and loss (P&L) from the long call option investment is the function P&L = (S1  — 40)+ —  2.28

(2) The P&L on the option investment at expiration if the underlying is $57.50 is (57.50 — 40)+  —  2.28 = $15.22.

Problem 2. (1) Today, we will pay $0 for call and earn $1000 cash and put it into bank to earn the interest as

Interest = $1000 * 0.03 = $30

After one year, we will exercise the call if the underlying price is higher than $100 and return it. otherwise we will just buy 10 shares to return.

P&L = 10 * (100 — S1 )+ + 30

(2) Today, we will pay or earn nothing for the call and forward.   After one year, we will exercise the call if the underlying price is higher than $100 and give it out. otherwise we will just buy 10 shares for the forward.

P&L = 10 * (100 —  S1 )+

And the diference is just the interest.

Problem 3. (1) From the formula F0,T  = S0 e(r —6)T, we can derive the following equa-

tion:

6 = T —  1T log(F0,T/S0 )

Note F0,T  = 210,S0  = 200,T = 0.05,T = 1512, we can calculate 6 = 1.1%

(2) In this case, the theoretical price is

0,T  = S0 e(r —6)T  = 211.57 > Ftrue  = 210,

which means the market price is under-priced, so we can buy the forward can create a synthetic forward in the table below: