Question 1 (6 marks)

Consider the double integral

2     3

sinh(y2 ) dyd北.

′     3x

(a)  Sketch the region of integration.

(b)  By changing the order of integration, evaluate the double integral.

Question 2 (7 marks)

Determine the surface area of the part of the surface z = xy that lies inside the cylinder given by x2 + y2 = 1 .

Question 3 (8 marks)

Let F(x, y, X) = (sin y cos x)i + (sin x cos y)j + e2z k.

(a)  Show that F is a conservative vector field.

(b) Find a scalar function φ such that F = Vφ .

(c) Let C be the boundary of the square with vertices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1), in the x-y plane.  Determine the work done by F in moving a particle in an anticlockwise direction around C.

Question 4 (10 marks)

Consider the surface S of the solid region V formed by the cylinder 北2 + y2  - 4 which lies between the planes z = 1 and z = 4. Let S be oriented with an outward unit normal.

Use Gauss’ Theorem to determine the flux of the vector field

F(北, y, z) =  ╱北3 i + y3j + z3 k、

across S.

Question 5 (9 marks)

Consider the following system of differential equations

dx                      dy

dt                      dt

with general solution

┌ y(x) ┐ = α 2  ┌ 1-1 ┐ e-t + α2  ┌ 1-2 ┐ e-3t

Sketch the phase portrait near the critical point at the origin. To sketch the phase portrait, determine:

<  any special cases of the orbits,

< how the orbits behave as t o -o,

< how the orbits behave as t o o,

< the slope of the orbits when x = 0,

< the slope of the orbits when y = 0.

In your sketch, show all the straight line orbits and at least four general orbits.

MAST20029 Engineering Mathematics Formulae Sheet 1)  Change of Variable of Integration in 2D

f (x, y) dxdy =          f (x(u, v), y(u, v))lJ (u, v)l dudv

R                                          R*

2)  Transformation to Polar Coordinates

x = r cos θ,       y = r sin θ,       J (r, θ) = r

3)  Change of Variable of Integration in 3D

f (x, y, z) dxdydz =            F (u, v, w)lJ (u, v, w)l dudvdw

V                                                        V *

4)  Transformation to Cylindrical Coordinates

x = r cos θ,       y = r sin θ,       z = z,       J (r, θ, z) = r

5)  Transformation to Spherical Coordinates

x = r cos θ sin φ,       y = r sin θ sin φ,       z = r cos φ,       J (r, θ, φ) = r2 sin φ

6)  Line Integrals

f (x, y, z) ds =

C

b

f (x(t), y(t), z(t)) ^x\ (t)2 + y\ (t)2 + z\ (t)2 dt

a

7) Work Integrals

F(x, y, z) . dr =

C

8)  Surface Integrals

b         dx         dy          dz

a          dt         dt         dt

g(x, y, f (x, y))′fx(2) + fy(2) + 1 dxdy

9)  Flux Integrals       For a surface with upward unit normal,

-F2fx - F2fy + F3 dydx

R

10)  Gauss’ (Divergence) Theorem

V . F dV =         F . nˆ dS

V                                   S