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ASSIGNMENT 1

MATH3975 Financial Derivatives (Advanced)

2022

1.  [12 marks]  Single-period multi-state model.  Consider a single-period market model M = (B, S) on a finite sample space Ω = (ω1 , ω2 , ω3 }. We assume that the money market account B equals B0  = 1 and B1  = 4 and the stock price S = (S0, S1 ) satisfies S0  = 2.5 and S1 = (18, 10, 2). The real-world probability P is such that P(ωi) = pi  > 0 for i = 1, 2, 3.

(a) Find the class M of all martingale measures for the model M. Is the market model M arbitrage-free? Is this market model complete?

(b) Find the replicating strategy (ϕ0 , ϕ 1 ) for the claim X  =  (5, 1, -3) and compute the arbitrage price π0 (X) at time 0 through replication.

(c) Find the arbitrage price π0 (X) using the risk-neutral valuation formula with an arbi- trary martingale measure Q from M.

(d)  Show directly that the contingent claim Y = (Y (ω1 ), Y (ω2 ), Y (ω3 )) = (10, 8, -2) is not attainable and find the range of arbitrage prices for Y using the class M of all martin- gale measures.

(e) For the contingent claim Z = (20, 16, -4), find the minimal initial endowment  for which there exists a portfolio (, ) with V0(, ) =  and such that the inequality V1(, )(ωi) ≥ Z(ωi) holds for i = 1, 2, 3.

(f)  Can we interpret the number  as an arbitrage price for Z?  Can we complete the market by assuming that Z is an additional primary asset traded at time 0 at the initial price equal to 3?

2.  [8 marks] Static hedging with options. Consider a generic complete and arbitrage-free model M = (B, S) where B is the money market account process and S the stock price. We consider a path-independent European claim Y = g(ST) with maturity T and we assume that the payoff function g : R+ → R is twice continuously differentiable.

(a) Using the integration by parts formula, show that for arbitrary x, y e R+

(b) We assume that call and put options are traded in an arbitrage-free market model M at unique prices C0(K) and P0(K) for all K > 0. Using the risk-neutral valuation formula and equality (1), show that the arbitrage price π0 (Y) in M of a European contingent claim Y = g(ST) admits the following representation, for any L ≥ 0,

L                                                 /

π0 (Y) = g(L)B(0, T) + g\ (L)(C0(L) - P0(L)) +      P0(K)g\\ (K) dK +       C0(K)g\\ (K) dK

0                                                 L

where B(0, T) is the price at time 0 of the zero-coupon bond with maturity T.

(c)  Let us take g(y) = αy + β for some real numbers α and β . Using the equality estab- lished in part (b) and the put-call parity relationship, show that the price of Y = g(ST) at time 0 equals αS0 + βB(0, T).

(d) Apply the equality derived in part (b) with L = 0 to the claim Y = g(ST) = ST(2) .