(a)

If 对 an  diverges, then so does 对 sin(an ).

(b)

If 对 sin(an ) converges, then 对 an  converges.

(c)

If 对 an  converges, then so does 对 an(n) .

(d)

If f is an integrable function on R andla(b) f = 0 for all a,b ∈ R, then

f = 0.

(e)

Let P be a partition of [a,b] and R(f,P) a Riemann sum for f on [a,b] with partition P . Then U(f,P) ≥ R(f,P) ≥ L(f,P).

(f)

It is possible to find partitions P and Q of [a,b] and an integrable function f on [a,b] such that L(f,P) ≥ U(f,Q).

(g)

Let f(x) = x if x ∈ [0, 1] is rational and f(x) = −x if x ∈ [0, 1] is

(h)

in(对)k(n)1(1))xk (1 − x)n −k  uniformly approxi-

(i)

Let fn (x) = n/(nx + 1) for 0 ≤ x ≤ 1. Then limn→∞ l01 fn  exists.

(j)

There exists a partition P of [0, 1] with parts [ai ,ai+1] for 1 ≤ i ≤ n

such that 对(ai+1/ai − 1) converges as n → ∞ .