Practice Final Examination 2 – Math 142B

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Practice Final Examination 2 – Math 142B

Question 1. Determine whether each of the following statements is true or false. No justification is required.

 

(a)

 

If an  > 0 for all n and liminf |an+1|/|an | < 1, then 对 an  converges.

 

 

(b)

 

If 对 an  converges, then 对 sin(an ) converges.

 

 

(c)

 

If f(x) = 对 anxn  converges for x  ∈  [−r,r], then for x  ∈  [−r,r], f\ (x) =对 nanxn−1 .

 

 

(d)

For |x| < 1, 对  = x − log(1 − x).

 

 

(e)

 

The coefficient of x4  in the Taylor series for eex   about x = 0 is 5e/8.

 

 

(f)

 

Let fn  and f be differentiable on [0, 1]. If fn → f uniformly on [0, 1], then f → f\  uniformly on [0, 1].

 

 

(g)

 

Let f(x) be the smallest integer larger than 2sin x where 0 ≤ x ≤ π . Then f is integrable on [0,π].

 

 

(h)

 

Let f(x) = sin() for x  0 and f(0) = 0.  Then l1 f does not exist.

 

 

(i)

 

Let fn  : [0, 1] → R be integrable, and suppose fn  → 0 pointwise for x ∈ [0, 1]. Then limn→∞ l01 fn = 0.

 

 

(j)

 

Le ϵ > 0. If f is an integrable function on [0, 1] and P is the partition with parts  [  , ] where 0  ≤ i  < n, then U(f,P) − L(f,P)  < ϵ provided n is large enough.

 

Question 2. Let fn (x) = (x + n)/(1 + nx3 ) for x > 0 and n ≥ 1

(a)   Determine a function f such that fn → f pointwise for x > 0. (b)   Is the convergence in (a) uniform on (0, 1]?

(c)   Is the convergence in (a) uniform on [1, ∞)? 

Question 3.

Let f(x) = xex  for x ∈ [0, 1].

(a)   Determine the nth Bernstein polynomial fn (x) for f where n ≥ 1. (b)   Prove that fn (0) = 0 and fn (1) = e for all n ≥ 1.

(c)   Prove that sup{|fn (x) − f(x)| : x ≥ 0} → ∞ as n → ∞ . 

Question 4.

For n ≥ 1 and x ∈ [0, 1], let

sin(log(1 + x))

1 + x + xn

(a)   Prove that f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ ... for all x ∈ [0, 1].                    (b)   Determine a function f such that fn → f pointwise on [0, 1]. (c)   Prove that fn (x) is integrable on [0, 1] for all n ≥ 1.              (d)   Prove that f is integrable on [0, 1].

(e)   Determine the value of

n(l) \0 1 fn (x)dx.


 












2022-09-01