This take home quiz begins at 9:30pm Paciic March 3, 2022 and is due at 5:00pm Paciic March 6, 2022.  Provide sucient reasoning to back up your answer but do

not write more than necessary. Do not discuss your solutions with anyone. This quiz consists of 4 questions. Good luck!

Problem 1. (10 pts) A stock price index follows the lognormal stock price model ln(St /S0 )  N(ut,a2t)

You are given the following observations on the stock index price. Observations times are in fractions of a year.

Estimate u and a using this data.

Problem 2. You want to buy a forward start option on a stock index S which, on the forward start date 9 months from today, will give you one 6-month to expiration call option with strike price equal to 90% of the price of the underlying on the forward start date  (i. e. the six month call option is issued with the strike price equal to 0.9  S0.75 ).

You are given that that S = 100,a = 0.3,r = 0.08,6 = 0.02.  We may assume that the values for r , a and 6 remain the same over the next 9 months.

(1) [7 points] Compute the price of the forward start option at time 0.

(2) [3 points] If you are the market maker that writes this forward start option how would you hedge your position?

Problem  3. A stock price index at time t has the distribution according to the

random variable

St  = 75  exp (ut + a ^tZ)

where Z has a standard normal distribution and time is measured in years.

Parameter values are u = 0.1 and a = 0.3 and the stock index pays a continuous dividend at the rate 6 = 0.04.

You invest $3,500 in the stock index at time 0 and your dividends are immediately reinvested in the stock index over the life of your investment.

(1) What is the probability that the one-year total return on your investment is less than or equal to -10%?  (i. e. what is the probability that you lose at least 10% on your initial investment over the year?)

(2) What is the 0.10 percentile of your one-year investment total return?

Problem 4. (10 pts) You are given the following information.

o The current price of the stock index is S = 80.

o The continuously compounded interest rate is r = 0.03 per year.

o The continuous dividend yield rate is 6 = 0.02 per year.

o The volatility of the stock index is a = 0.50 per year.

o You will generate the binomial tree using the formulas for u and d.   (u  =

e(r 6)h+a^h  and d = e(r 6)h a^h )

o The options expire at time T = 0.75.

o Your binomial tree should be built using n = 3 periods.

o The constant strike price for the second option is K = 75.

Compute the price of Asian arithmetic average price call option.

1.  Solution

Problem 1 . For lognormal model, we have the following estimation:

N

uh = E[ln(St+h/St )]  1N 工 xi

i=1

N

a2 h = Var[ln(St+h/St )]  1N1 工 (xi  )2

By calculation, we have xi   = ln(Si+1/Si ),    i =  1, ··· , 11 with sample mean  = 0.0285, sample standard deviation s = 0.0639 and time interval h = 124 .

∴  = h = 0.685,     = 4s2h = 0.313.

Problem 2. This question is based the example we studied in lecture 8 “Forward Start Example” and on Exercise 14.21, page 429 of the text.

(1) We compute the value of the call option on the forward start date as a function of the price of the stock index on the forward start date. Another way to put this is that we compute the value of the call option when issued at the forward start date, conditional on the value of the underlying on the forward start date. The call option has a maturity of 0.5 on the forward start date and is issued with the strike price of 0.95S0.75 .  The value of the call option on the forward start date conditional on the stock price index is

C(S0.75) = S0.75 e  6(0.5)N(d1 )    0.9S0.75 e  r(0.5) N(d2 )

= S0.75  [e 6(0.5)N(d1 )    0.9e r(0.5) N(d2 )]

with

ln (S0 .75/(0.9S0 .75 ))+(r  6 + 0.5a2 ) T

a ^T

 ln(0.9) +(0.08  0.02 + 0.5(0.3)2 )(0.5)

(0.3)^0.5

= 0.7441

and

d2  = d1       a ^T  

= d1       (0.3)^0.5 = 0.5320

4                   Therefore

C(S0.75 ) = S0.75  [e 6(0.5) N(0.7441) — 0.9e r(0.5) N(0.0.5320)]

= 0.15635S0.75

Therefore, the value of the forward start call option when issued at the forward start date (i. e. at the end of 9 months) is equal to 0.15635 units of the underlying stock price index at that time, or 0.15635S0.75 . A prepaid forward contract for delivery of 0.15635 units of the underlying stock price index at the forward start date (at time = 0.75) has identical value to the forward start call option when issued at the forward start date so that the time 0 price of the forward start option is equal to 0.10644 times the prepaid forward price of underlying stock price index for delivery on forward start date.

Price Forward Start Option = 0.10644e 6(0.75) S0

= 0.15635e 0.02(0.75) 100 = 15.4019

(2) The pricing analysis shows that the value of the forward start option on the forward start date is a fraction of the price of underlying on the forward start date. Therefore, the market maker can hedge the forward start option by taking a long position in the underlying at time 0 that will be equal to the fraction of the underlying representing the value of the forward start option on the forward start date.  The fraction we have just computed is 0.15635. Since the stock index pays a dividend, the market maker should be long (e 0.02(0.75) 0.15635) shares of the underlying at time 0. At the forward start date the market maker is now short a call option with a ixed strike price. The market maker must delta hedge the call option with the ixed strike price of 0.9S0.75  starting from the forward start date.

Summary of Market Maker Hedge

(a) Long  (exp( — 0.02(0.75))0.15635)  shares of the underlying stock price index at

time 0 until the forward start date.

(b) At forward start date, delta hedge the option that has now been issued with the ixed strike price 0.9S0.75 .

Problem 3. This question is based on Example 1 of “The Lognormal Distribution - Chapter 18 Examples” study note.

(1) Total return depends on the change in price and the dividend payments.  The total return over one year is computed as

TR[0,1] = ln ( e6 S1S0) = 6 + u + aZ = 0.14 + 0.3Z

Total return is a random variable which depends on the realization of the standard normal random variable Z .

P (TR[0,1] ≤   0.10) = P (0.14 + 0.3Z ≤   0.10)

= P (Z ≤   0.10    0.140.3) = N(  0.8) = 0.21186

(2) The 0.10 percentile of your one-year investment total return is the value Y0.10 such that

0.10 = P (TR[0,1] ≤ Y0.10 )

We use the percentiles of the standard normal distribution to solve for Y0.10 as follows.

0.10 = P (TR[0,1] ≤ Y0.10 ) = P (0.14 + 0.3Z ≤ Y0.10 )

= P (Z ≤ Y0.10       0.140.3) = N ( Y0.10       0.140.3)

Therefore, we want to ind the value Y0.10  so that

0.10 = N ( Y0.10       0.140.3)

which means that  (Y0.10    0.14)/0.3 should be equal to the 0.10 percentile of the

(Y0.10   0.14)/0.3 = 0.10       =⇒   Y0.10  = 0.14 + 0.30.10

Using a table of the normal distribution or Excel we ind 0.10  =  1.28155 (one may

Y0.10  = 0.14 + 0.3(  1.282) =  0.2446

This means that there is a 10% chance of losing more than 24.46% of our investment over one year.

Problem 4 . Terminal payof is

( 1N Skh   K)+