The tutorial questions are taken from Abadir, K.,   Magnus, J.  (2005).   Matrix Algebra  (Econometric Exercises). Cambridge:   Cambridge  University  Press.   You can find the textbook online from UQ library.   Exercise number for each question is given as a reference for you to be able to find the question from the textbook.

1.  Exercise 2.3 (Matrix addition)

a.  Show that there exists a unique matrix O such that A + O = A

b.  Show that A + B = B + A.

c.  Show that (A + B) + C = A + (B + C).

2.  Exercise 2.4 (Transpose and inner product) Consider the matrices

A = /2(1)   1(2)、,    and   B = 、

a.  Obtain A\  and B\  .

b.  Prove that (X\ )\  = X for any matrix X and verify this on the matrices A and B.

c. What is the transpose of the row vector b\  = (1, 2, 3)?

d.  Show that (A + B)\  = A\ + B\  for any two matrices A and B of the same order.

e.  For two real vectors a and b, show that the inner product /a, b) = a\ b.

3.  Exercise 2.5 (Multiplication) Let

A = 、,    and   B = 、

a.  Compute AB\ , BA\ , A\ B, andB\ A.

b.  Show that I2 A = A and I2 B = B .

4.  Exercise 2.12 (Order of matrix) What are the orders of the matrices that guarantee that ABC is defined?

5.  Exercise 2.16 (Partitioned matrix) Let A and B be 3 X 5 matrices, partitioned as

╱  1   3    一2    1     2  、

．  0   0     1      4     1  ． ,

╱  1    一3    一2  4    1  、

．  1     0      2     0    1  ． ,

and let C be a 5 X 4 matrix, partitioned as

1  、

0   ． ．

1   ．(．) , ．

2   ． 1  ．

Denoting the submatrices by A =  

、,

B=  

、,

C=  

、. Show that;

A + B = 

AC =  A\  = /A(A)2(1)

6.  Exercise 2.19 (Diagonal matrix, permutation)

、

、

A(A)2(1)、