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MATH0015 Resit Coursework 2022

The fluid is incompressible and inviscid and has constant density ρ . Gravitational acceleration is denoted by g .

(a) A small-amplitude wave is progressing in the positive x-direction on the surface of water of constant density ρ, so that the equation of the surface is z = η(x,t) where z is measured vertically upwards from the undisturbed surface (z = 0). The two-dimensional linearised Euler equations governing the flow can be written

u         1 ∂p

∂t        ρ ∂x ,

w          1 ∂p

 

+       = 0,


p = pa − ρgz + ρΦ ,

where pa  is the constant atmospheric pressure.

(i)  Derive the governing partial differential equation satisfied by Φ .

(ii) By relating w to η , derive the kinematic boundary condition on Φ at z = 0.

(iii) By considering the pressure on the free surface, derive the dynamic boundary con- dition on Φ at z = 0.

(iv) By combining the results of (ii) and (iii), obtain a boundary condition in terms of Φ alone at z = 0.

(b) An earthquake-generated ocean wave may be modelled by considering water of depth h, with the lower boundary condition on the vertical velocity

w( −h,t) = bcos(kx − ωt) at z = −h,

where b is constant. The surface boundary conditions are unchanged.

Considering a pressure disturbance of the form Φ(x,z,t) = Z(z)sin(kx − ωt), where Φ is as given in part (a).

(i) What does this lower boundary condition become in terms of Z(z)? (ii) What does condition (iv) become in terms of Z(z)?

(iii) What differential equation does Z(z) satisfy?

(iv) By solving for Z(z) obtain the pressure perturbation, Φ(x,z,t).

(v) What is the corresponding surface displacement?

(vi) For any given wavenumber k of the bottom disturbance there is a speed c = ω/k of the disturbance for which the surface displacement is singular. How are ω and k related in this case? What is happening?