Note:  This is a modified version of the Lab. script “Interference and Diffraction” adapted to be done without attending the laboratory.  Completion of the tasks requires the student to study the topics in more detail using the references and the use of Matlab to perform the calculations and produce the plots.

Assessment is through a report that consists of the answers to the questions marked in this lab script.  More details and guidelines to write this report are given at the end of this document.

Wave Propagation

Wave propagation is a central concept in physics and engineering.  It is at the heart of most systems and devices in electronic engineering.  Examples include among others, long, medium and short wave radio, microwave links, optical fibre systems, sonar, audio (acoustic) systems, optics and electron waves in semiconductor devices.

In this experiment we shall be concerned with electromagnetic waves, nevertheless many (but not all) of the results and conclusions will apply to other kinds of wave such as acoustic or           electron waves.  This experiment has two main parts that deal with important aspects of wave     propagation:  The first part is “Interference of waves”, that will investigate the superposition       effect of two waves, and the second part, “Diffraction of waves” will concern the effect of           superposition of multiple waves, which is commonly manifested by the “bending of wave paths  at the edges of obstacles” .  Additionally, two more sections include the polarisation of waves      and “Antenna Arrays” .  You will be asked to explain aspects of the theory and to show your        theoretical calculations as part of the answers to the questions indicated in this script.

Part 1 Interference of waves

In this section we will be concerned with monochromatic waves, that is, waves of the same, single frequency, not made up of a superposition of multiple components of different frequency – like for example, a beam of sunlight.

Two waves at the same frequency will give rise to interference effects when they overlap.

This effect appears in numerous practical

applications.  It is the basis of interference fringes in,

for example, optical interferometers and in the design

of antenna arrays.  The figure illustrates the

phenomenon with water in the sea where waves and

their reflections from the coastline interfere.  You

can also see Fig. 3.5 in the course lecture notes where

an interference pattern is generated by the

superposition of two waves propagating in different

directions.

In this experiment we investigate a particularly

simple case of interference of waves emitted from

two narrow aperture sources.  The experiment is

essentially the microwave counterpart of Young’s

two-slit experiment in optics.  Microwaves are

convenient for us because their wavelength is much

longer than those of optical waves, and the

interference pattern can therefore be measured with reasonable accuracy using a simple apparatus.

Consider the situation shown in Fig. 1.

Fig. 1 Two in-phase sources, S1 and S2, illuminating an observation plane.

Two sources, S1 and S2, with equal amplitude and phase illuminate an observation plane         where we consider an arbitrary point at a distance x from the central point denoted by 0.  The      sources could be ‘line sources’ (along z) or ‘point sources’ generating cylindrical or spherical     waves, respectively.  In either case waves propagating away from a source will suffer some         reduction in intensity (|E|2)1 with 1/r or 1/r2, respectively.  If the distance from the sources to the point x=x, l1 and l2, are nearly equal ( (l1 − l2 )D << 1 ) we can approximate and neglect the difference in amplitudes at the observation plane. However, we cannot neglect the difference in phase.  Hence, we can see that there will be constructive interference at some position x when     the path lengths l1 and l2 differ by zero or an integer number of wavelengths i.e. when l1 – l2 = nλ .  Similarly, there will be destructive interference at some position x when the path     lengths l1 and l2 differ by an odd integer number of half wavelengths i.e. when l1 – l2 =               (2n+1)λ/2.  Thus, along the x-axis there will be a series of maxima and minima of intensity.

We can easily calculate a general expression for the intensity along the x-axis.  The total field at x, on the observation plane without approximation is given by2:

E = e − jkl1 + e − jkl2 (1)

Here we have considered a 1/r-fall off of field (i.e. a 1/r2 fall-off of intensity), corresponding to a point source radiating in 3D space (spherical wave).

From Fig. 1 we have:

sin 91  = (d2 − x)l1

also:                   sin 92  = (d2 + x)l2

Then, since sin2 9+ cos2 9 = 1 we can write:

l1  = D cos91 + (d2 − x)sin91

l2  = D cos92 + (d2 + x)sin92

Now if l1 ≈ l2 ≈ D, we can approximate ET in (1) by:

ET ≈ (e −jkl1  + e −jkl2 )

and substituting (2):

ET ≈ (e− jk (d 2−x)sin91 +D cos91 + e− jk (d 2+x)sin92 +D cos92 )

Since 91 and 92 are small, we can make the following approximations:

sin 91  ≈ 91  ≈ (d2 − x)D and similarly,  sin 92  ≈ 92  ≈ (d2 + x)D .   Then, for the cosine terms (using the first 2 terms of the Taylor series), we have:

cos9 ≈ 1− 92 2  and  cos9 ≈ 1− 9 2 2 .

Experiment 1.1: Interference of waves

For this part of the experiment, you will be given experimental data obtained using the set-up described schematically in the following diagram.

Fig. 2 Experimental arrangementfor the interference experiment. Note that the picture is not at scale. In the

practical situation D >> d. In thefigure, the receiver is shown at x = 0.

Two in-phase equi-amplitude ‘point’ sources are provided by the rectangular waveguide T-  junction feeding two open-ended waveguides of equal lengths.  The signals from both sources  are received by the horn at the right and fed to a microwave detector and amplifier.  The horn is moved along a ruler on the x-axis and the measured output is observed as the horn is moved.