MA3662: Game Theory Mock Paper B 2022

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MA3662: Game Theory

Stage 3 Examination

Mock Paper B 2022

1.    (a)  Find all pure Nash equilibria for the game with payoff matrix given by

 、． ．． .

[2]

(b)  State what it means for a pair of strategies to be Pareto optimal, and determine which (if any) of the pure Nash equilibria of this game are such pairs.                                                                                                 [3]

(c)  Consider the zero sum game given by

A =  ╱  、

( 5   4   0   −3 ．  .

i.  Calculate the gain floor and loss ceiling for A.                                [2]

ii.  Use strict dominance with a suitable linear combination of strategies to eliminate one row from A to form a new matrix B .                     [6]

iii.  Use a suitable graphical method to find a Nash equilibrium for this game.                                                                                                 [7]

[Total marks: 20]

 

 

2.  Consider a two-player non-zero-sum game with payoff matrix given by  、.

(a)  Determine the safety values and a maxmin strategy for each player.   [6]

(b)  Suppose that there is a mixed Nash equilibrium.   Use the Equality of Payoffs Theorem to determine this equilibrium.                                     [6]

(c)  Now supose that the players choose to cooperate.   Sketch the payoff polygon for this game, and show clearly the location of the status quo


(d)  Determine the Nash bargaining solution for this game.                         [5]

[Total marks: 20]


 

 

 

 

3.  Consider the infinite repeated two-player game where at each stage the play- ers play the non-zero-sum game given by

 

A           B

A    (4, 4)     (12, 2)

B    (2, 12)     (7, 7)

(a)  Consider the following strategies:

•  sA : always play A.

•  sB : always play B .

•  sC : play B if the other player has never played A and play A other- wise.

Suppose that the total payoff involves a discount factor 6 and that both players are restricted to the pure strategies sA , sB , and sC .  Determine

the range of values of 6 such that (sC , sC ) is a Nash equilibrium.        [6]

(b)  State what it means for a pair of strategies to form a subgame perfect Nash equilibrium.                                                                                      [2]

(c)  Is the pair (sC , sC ) a subgame perfect Nash equilibrium for some range of values of 6? Give reasons for your answer.                                        [6]

(d)  Consider the two stage game where the first stage is the matrix game above (played without repeats), and the second is given by

L         R

L   (2, 2)    (0, 0)  .

R   (0, 0)    (9, 9)

Describe a strategy s in which both players pick B in stage one such that (s, s) is a subgame perfect Nash equilibrium for a suitable range of discount values, and determine this range of values.                            [6]

[Total marks: 20]


 

 

 

 

4.  Consider the game with payoff matrix

A =  ╱  、

( 2   0   −2 ．

for each player.

(a)  Give the definition of an Evolutionarily Stable Strategy (ESS).             [2]

(b)  Give an alternative characterisation of ESSs in terms of the equilibrium and stability conditions.                                                                            [2]

(c)  Determine which of the pure strategies give an ESS for this game.     [8]

(d)  Define the support and the pure equilibrium set for a mixed strategy, and state the Bishop-Cannings theorem.                                                       [4]

(e)  Are there any other ESSs for this game?  Give a justification for your answer.                                                                                                      [4] [Total marks: 20]















2022-08-25