1.  Consider a two-player zero-sum game with p x q payoff matrix A for player

(a)  Define what it means for one strategy to strictly dominate another.     [3]

(b)  Consider the game given by

╱  、

A =  ．( 1   4   3．． .

i.  Calculate the gain floor and loss ceiling for A.                                [2]

ii.  Use strict dominance with a suitable linear combination of strategies to eliminate row 2 from A to form a new matrix B .                         [6]

iii.  Use the Equality of Payoffs Theorem to determine whether it is pos- sible to have a mixed Nash equilibrium for B where player one’s strategy is of the form (a, b, c) with a, b, c > 0.                                [9]

[Total marks: 20]

2.  Consider a two-player non-zero-sum game with payoff matrix given by  ← .

(a)  Determine the safety values and a maxmin strategy for each player.   [6]

(b)  Determine the rational reaction sets for the given game, and hence clas- sify the Nash equilibria.                                                                            [7]

(c)  Consider the game where player 1 first picks A or B . If A is picked then player 2 picks either X with payoff vector (5/2, 2) or Y with payoff vector (3, 1).  If B is picked then the two players play the non-zero-sum game given above where the first pure strategy for each player is called M and the second is called N . Determine all of the subgame perfect Nash equilibria of this game.                                                                             [7]

[Total marks: 20]

3.  Consider the infinite repeated two-player game where at each stage the play- ers play the non-zero-sum game given by

B

A    (4, 4)     (-2, 6)

B   (6, -2)     (2, 2)

(a)  Consider the following strategies:

•  sa : always play A.

•  sB : always play B .

•  sT : play A in the first stage, and then at each stage copy what the other player did at the previous stage.

•  sC : play B in the first stage, and then at each stage copy what the other player did at the previous stage.

Suppose that the total payoff involves a discount factor 6 and that both players are restricted to the strategies sa , sB , sT , and sC . Determine the

range of values of 6 such that (sT , sT ) is a Nash equilibrium.              [7]

(b)  State what it means for a pair of strategies to satisfy the one stage devi- ation condition, and state the one stage deviation principle.                 [3]

(c)  Let sP  be the strategy where the player starts by playing A and then at each stage plays A if both players played the same strategy at the previous stage and plays B otherwise.

Use the one stage deviation  principle to determine whether the  pair (sP , sP ) is a subgame perfect Nash equilibrium for some range of val-

ues of 6 .                                                                                                   [10]

[Total marks: 20]