1.  Consider a two-player zero-sum game with p × q payoff matrix A for player

(a)  Define what it means for one strategy to weakly dominate another.    [3]

(b)  Consider the game given by

i.  Calculate the gain floor and loss ceiling for A.                                [2]

ii.  Use strict dominance with a suitable linear combination of strategies to eliminate row 4 from A to form a new matrix B .                         [6]

iii.  Use the Equality of Payoffs Theorem to determine whether it is pos- sible to have a mixed Nash equilibrium for B where player one’s strategy is of the form (a, b, c) with a, b, c > 0.                                [9]

[Total marks: 20]

2.  Consider a two-player non-zero-sum game with payoff matrix given by  、.

(a)  Determine the safety values and a maxmin strategy for each player.   [6]

(b)  Determine the rational reaction sets for the given game, and hence find the Nash equilibria.                                                                                   [6]

(c)  Now suppose that the players choose to cooperate.  Sketch the payoff polygon for this game, and show clearly the location of the status quo

(d)  Determine the Nash bargaining solution for this game.                         [5]

[Total marks: 20]

3.  Consider the infinite repeated two-player game where at each stage the play- ers play the non-zero-sum game given by

B

A    (5, 5)     (-2, 8)

B   (8, -2)     (1, 1)

(a)  Consider the following strategies:

·  sA : always play A.

·  s事 : always play B .

·  sT : play A in the first stage, and then at each stage copy what the other player did at the previous stage.

·  sC : play B in the first stage, and then at each stage copy what the other player did at the previous stage.

Suppose that the total payoff involves a discount factor 6 and that both players are restricted to the strategies sA , s事 , sT , and sC . Determine the

range of values of 6 such that (sT , sT ) is a Nash equilibrium.              [7]

(b)  State what it means for a pair of strategies to satisfy the one stage devi- ation condition, and state the one stage deviation principle.                 [3]

(c)  Let sP  be the strategy where the player starts by playing A and then at each stage plays A if both players played the same strategy at the previous stage and plays B otherwise.

Use the one stage deviation  principle to determine whether the  pair (sP , sP ) is a subgame perfect Nash equilibrium for some range of val-

ues of 6 .                                                                                                   [10]

[Total marks: 20]