1.      a.  Figure 1.1 shows a system diagram for a hot water tank which has capacitance C and is at temperature e . The tank is insulated from the surroundings by a thermal resistor with resistance R and the rate of heat flow from the tank to the surroundings is qout (t).

Derive the input-output equation for the system in Figure 1. 1, where the output is the temperature of the tank e and the inputs are the ambient temperature ea  and rate of heat flow into the tank qin(t).  Give TWO assumptions that would be made when considering

this tank as a lumped system.                                                                              (5 marks)

Figure 1.1

b.  Figure 1.2 shows a mechanical system with a mass Mthat is connected to a fixed      surface via a damper with co-efficient B1 and a spring with stiffness K. There is viscous friction with co-efficient B2 between the mass and a fixed surface.  The displacement of the mass is x(t) and the input force to the mass isf(t).  Draw a labelled free-body            diagram for the system.                                                                                        (5 marks)

Figure 1.2

c.  Derive the input-output equation for the system in Figure 1.2, wheref(t) is the input  and x(t) is the output.                                                                                           (2 marks)

d.  Derive the transfer function for the system in Figure 1.2 with F(s) is the input and X(s) is the output.  Assume zero initial conditions.                                            (4 marks)

e. For the Simulink model in Figure 1.3 write down the transfer function for the system. The input to the system isf(t) and the output from the system is x(t).                (6 marks)

Figure 1.3

f.  Using simple Matlab commands, how would you describe this system as a transfer

function and obtain a step response?

(3 marks)

(Total 25 Marks)

2.       The input-output equation for the circuit in Figure 2.1 is given by:

(C1  + C2)R1  + eo (t) = ei (t).

Figure 2.1

a. With particular values of C1 = 5x10-5 F, C2 = 5x10-5 F and R1= 10 Ohms, sketch the  response of the circuit to a step input of 5 V at t = 0.  Indicate the final value of the       response, and also show the time at which the output response has reached 98% of the final value.                                                                                                          (6 marks)

b. Write down the expressions for the gain and phase of the frequency response using the transfer function for the circuit in Figure 2.1.                                                     (7 marks)

c.  The equation for the rotational system shown in Figure 2.2 is:

J  + Ke = T (t).

Figure 2.2

Using the  Data  Book,  sketch the  graph  for the  frequency response  gain using the

following values J=100 kg m2 and K = 1 N m rad- 1 .                                           (5 marks)