Guidelines

Failure to follow this guidance might result in a penalty of up to 10% on your marks.

I.      Submit a single PDF document with questions in ascending order. This can be produced for example in Word, LaTeX or MATLAB Live Script. Explain in detail your reasoning for every mathematical step taken.

II.      Do not write down your name, or student number, or any information that might help identify you in any part of the coursework. Do not write your name or student number in the  title  of your  coursework  document file.  Do  not  copy  and  paste  the  coursework questions into your submission – simply rewrite information where necessary for the sake of your argument.

III.      Insert relevant graphs or figures, and describe any figures or tables in your document. All figures must be labelled, with their axes showing relevant parameters and units.

IV.      You will need MATLAB coding to solve some questions. Include all code as pasted text (for the purposes of plagiarism checks) in an Appendix at the end of your document. Remember to comment on your code, explaining your steps.

This coursework counts towards 12.5% of your final ENGF0004 grades and comprises one question, referred to as model, worth 100% of your coursework grade.

Model 1: Streamlines in Fluid Dynamics [50%]

Figure 1. Image of streamlines around an airplane wing.

Differentials often occur in mathematical modelling of practical problems, for example in fluid dynamics such as those observed in the flow around an airplane in flight. The image in Figure 1 shows the streamlines around a commercial airplane in flight. Streamlines are the paths along which the fluid flows – there is no flow across a streamline (the volume of fluid between two streamlines remains constant).

The definition of a streamline function w(x, y) = conSt.  in  incompressible flow where the velocity q at the point (x, y) has components

q = (u(x, y), v(x, y)),

is

u(x, y) =  − aw            and            v(x, y) = aw

These should be satisfied alongside the continuity equation

  +  7 ∙ (p q)  =  0,

where p(x, y, t) is the density of the fluid, q = (u, v) is the 2D velocity vector. In the case of incompressible 2-dimensional flow, the continuity equation reduces to

∇ ⋅ q =  +  = 0.

Question 1 [20 marks]

We will begin the analysis by proving the reduced continuity equation for incompressible flow. By definition, incompressible flow means that the total derivative of the density of the fluid p with respect to time “following the fluid” is equal to 0:

 =  +   +   = 0.

The rates of change with respect to time of the spatial dimensions  and y “following the fluid” are defined as

 = u,          = v.

Show that by applying the definition of incompressibility to the continuity equation, it can be used to prove that the divergence of the velocity in incompressible flow is equal to 0.

Question 2 [20 marks]

Consider the case of steady-state incompressible fluid flow in two dimensions, where it is known there are distinct stream lines in the flow, observed experimentally through colouring with a die.

Find the stream function (, y) for the incompressible flow that is such that the velocity q at the point (, y) is

q = ( −         y                           ).

Question 3 [10 marks]

Plot the streamlines you found  in Question 2  in  MATLAB. What type of flow does that streamline function correspond to? Discuss what technique taught in Vector Calculus in MMA 2 does the method applied in Question 2 resemble.

Model 2: Vision-based monitoring [50%]

Figure 2. Image of UCL in greyscale.

Vision-based monitoring measures the displacements of civil infrastructure such as towers and bridges as a way of performing remote observation and make decisions on maintenance actions. This relies on video processing from a single-point displacement measurement, (i.e. the mid-span of a bridge).

However,  to  keep  costs  low,  in  practice  such  systems  often  have  limited  storage  and processing capabilities and require that the images taken are compressed. In this model, we will  use  Singular  Value  Decomposition  to  create  compressed  images  from  on  original, calculate resulting compression ratios and discuss the loss of accuracy.

Question 1 [10 marks]

Download the file Portico.csv from Moodle and import it into MATLAB. This comprises a 340340 matrix containing a greyscale image in Figure 2. To view the image, use the MATLAB command imshow(P). A figure window will appear with the image of the UCL Portico.

Question 2 [15 marks]

Perform a singular value decomposition of the image file into U, S and V in MATLAB using the svd function. Discuss the type of matrices U, S and V are.

Question 3 [15 marks]

Create an image from the first 10 principal components A = ∑ i(1)1 ui si vi(T)  and view it in a new figure. This means that you should only use the first 10 elements from each of the three matrices U, S and V to reconstruct the image.

Then create images using the first 20 and 50 components and compare these three images to the original.

Calculate the compression ratio by comparing the number of elements present in the original 340340 matrix and the elements present in the U, S and V matrices used to reconstruct the 10, 20 and 50 component images.