Guidelines

Failure to follow this guidance might result in a penalty of up to 10% on your marks.

I.      Submit a single PDF document with questions in ascending order. This can be produced for example in Word, LaTeX or MATLAB Live Script. Explain in detail your reasoning for every mathematical step taken.

II.      Do not write down your name, or student number, or any information that might help identify you in any part of the coursework. Do not write your name or student number in the  title  of your  coursework  document file.  Do  not  copy  and  paste  the  coursework questions into your submission – simply rewrite information where necessary for the sake of your argument.

III.      Insert relevant graphs or figures, and describe any figures or tables in your document. All figures must be labelled, with their axes showing relevant parameters and units.

IV.      You will need MATLAB coding to solve some questions. Include all code as pasted text (for the purposes of plagiarism checks) in an Appendix at the end of your document. Remember to comment on your code, explaining your steps.

This coursework counts towards 12.5% of your final ENGF0004 grades and comprises one question, referred to as model, worth 100% of your coursework grade.

Model 1: Vibrations in a Drumhead [100%]

Figure 1. Image of a drumhead – the circular membrane at the top of a drum.

To model the vibrations of a drumhead, which is the circular membrane at the top of a drum, we will use the two-dimensional wave equation in polar coordinates (r, e) . This will allow us to expand our knowledge of a well-known theory such as the one-dimensional wave equation to a wider range of applications. Similar circular membranes are also important parts of pumps, microphones,  and  telephones  to  name  a  few,  making  them  an  important  fundamental engineering model.

The model is built on the following assumptions:

1.  The membrane is homogeneous – it has a constant mass per unit area (p = const. ), it is perfectly flexible and does not resist bending.

2.  The membrane is stretched and then fixed along its entire boundary in the re-plane. This means the tension per unit length, T , caused by stretching the membrane is constant  and  homogenous  (does  not  change  during  motion  and  is  the  same everywhere).

3.  The deflection, u (r, e, t) , of the membrane during the motion is small in comparison to the size of the membrane and all angles of inclination are small. (This is important for the derivation of the wave equation as the governing equation in the model.)

4.  We will only consider solutions which are radially symmetric ( = 0).

The deflection, u (r, t), of the drumhead membrane with a radius R can then be modelled by

 = c 2 ( + ),

where

c 2  =

and the boundary and initial conditions are

u(R, t) = 0 for all t ≥ 0 (the membrane is fixed along the boundary circle to the drum),

u(r, 0) = f(r) (initial deflection),

ut(r, 0) = g(r) (initial velocity).

Question 1 [15 marks]

Use the separation of variables method to separate the wave equation into two linear differential equations (ODEs).

Question 2 [15 marks]

The two ODEs you found in Question 1 can produce physically meaningful solution in this case only  if the  constant they  are  equal to  is  negative  (const. = −k2 ). The  ODE which describes the solution w(r), depending on the space variable r , then has the form

 +  + k 2 w = 0.

Use the substitution q = kr and standard differentiation rules to transform this equation to the Bessel equation:

q  +  + qw = 0.

Question 3 [25 marks]

Solve the Bessel equation using Laplace transforms, taking the initial conditions

w(0) = c,

 = d.

You should make use of the formulae in the standard formula handbook on p.30 and p.32:

ℒ{tf(t)} = − dℒ{f(t)} = − dF(s)

ℒ−1 {} = J0 (t),         where J0 is the Bessel function of first kind,

and standard methods of solving ODEs taught in first year to solve the ODE in terms of s after applying the Laplace transforms.

Question 4 [25 marks]

The solution w(r) depending on the space variable r found in Question 3 should have the form

w(r) = PJ0 (kr),

where P is a constant.

J0  is the Bessel function of first kind of order n = 0, which can be found for any n from the general form for Jn(x)

∞        (−1)mx2m       

The Bessel function Jn is in-built in MATLAB through the functionbesselj(nu,Z).

a)  [10 marks] After reading the information about this function available in MATLAB, plot J0 (x) and find the locations for x at which J0 is 0. This will be useful in finding a solution which matches the boundary condition.

b)  [15 marks] Apply the boundary and initial conditions set out at the start of the problem to find the solution for the deflection u(r, t).

Question 5 [20 marks]

a)  Solutions (or eigenfunctions) representing the drumhead deflection, which satisfy the given boundary condition, have the general form

am

where you can evaluate numerically the coefficients Dm and Em from their definition below for chosen by you initial conditions f(r) and g(r) – these can be, for example, constants or linear, parabolic, or sinusoidal functions.

Dm =       2       ∫R rf(r)J0 (am r) dr,

R2入mJ1(2)(am)  0                      R         .

The solution um describes the mth normal mode of vibration.

Plot surface plots of the first three normal modes of drumhead vibration for m = 1, 2 and 3 at a set time point chosen by you. Discuss the shapes obtained, paying attention to lines where the drum membrane remains stationary (u(r, t) = 0).

b)  The complete solution for the deflection of the drumhead is given by

am