SECTION A

1.         Let

「 1 ]          「 2 ]          「1]

|      |            |      |             |   |

Verify that any two of the three 3-vectors u,v,w are orthogonal. Find scalars 入, p,vsuch that [入u   pv  vw] is an orthogonal matrix.

2.         Suppose

z = x ln(1+ xy) .

Use the small increments formula to find an approximation to the change in z when x changes from 1 to 1+ 编x and y changes from 1 to 1+ 编y where 编x and 编y are small.     Now suppose you are additionally given

x = 1 + t,   y = t 2 .

Use the chain rule to find dz / dt when t = 1.

3.         Show that the function

x2  - 2xy +5y2  - 10x + 2y

is convex.

Find its global minimum value.

4.         Find the general solution of the differential equation

dy      4

Also find the solutions which satisfy y=1 when t=0 and y=0 when t=1 and sketch them on the same axes.

5.         State Shephard’s lemma.

Suppose a firm’s cost function is given by

2(1)一a yb

where wi  and y  denote the price of the i-th input and the output level respectively and K, a andb are positive constants with  0  a  1 . Use  Shephard’s lemma to find the conditional input demand functions.

6.         Use l’Hôpital’s rule to find

x 入 一 y 入

lim 入0             入    .

7.         Find the general solution ofthe difference equation yt +2  + 4yt +1  一 5yt   = 2t .

8.         Find the stationary solution of the system of differential equations

dx              dy

dt              dt

Find also the general solution and sketch the phase diagram and phase portrait. Is the stationary solution stable?

SECTION B

9.         (a) Define the terms linear combination, linear dependence and linear independence as applied to vectors.

Suppose a,b and c are three vectors in Rn . Show that a,b and c are linearly dependent if

and only if there exist scalars α,β and γ, not all zero, such that

αa+βb+γc=0 .

State the generalisation of this result to the case of k vectors in Rn .

(b) Define the term echelon matrix and say what the 4 types of echelon matrix are. Hence show that the number of solutions of the simultaneous linear equations Ax = b is 0, 1 or infinity where A is an mn matrix, x is a vector in Rn   and b is a vector in Rm .

(c) Use the results in (a) and (b) to show that if we have a set of more than n vectors in Rn , these vectors must be linearly dependent.

10.       Explain what is meant by a homogeneous function of 2 variables of degree h. Show that the partial derivatives of such a function are homogeneous of degree h 一 1 .

Show that the utility function

U(x, y) = xy  ,

where α and β are positive constants, is homogeneous and state the degree of       homogeneity, h. Verify that the two marginal utilities are homogeneous of degree h 一 1 .

For this utility function, show that the slope of the indifference curves is constant along the line

y = cx

where c is a positive constant. Draw a diagram to illustrate this result.

Now show the same result is true when the utility function is a general homogeneous function of 2 variables.

11.       A consumer has a utility function

U(x1 , x2 ) =    1   2

Find the demand functions, explaining carefully each step of your argument.

12.       A firm has L units of labour at its disposal. Its outputs are three different commodities. Producing x, y and z units of these commodities requires x2 ,  y2 and z 2 units of labour respectively.

Consider the problem

maximise (ax + by + cz) subject to  x2  + y2  + z2    L

where a, b, c,  ,  and   are positive constants.

(i) Write down the Lagrangian and the Kuhn-Tucker conditions.

(ii)  Explain  why  the  Kuhn-Tucker  conditions  are  sufficient  for  a  solution  to  this problem.

(iii) Find the solution.

(iv)  When   a = 4, b = c = 1,  = 1,   =  and =  ,  show  that  the  problem  has  the solution   x =    , y =    and z =  .   Use  the  Lagrange  multiplier  to  find  the approximate change in the maximum value when L increases from 100 to 101.