Question 1 (11 points)

Consider a size n i.i. d.  sample from a population X with density

f (x; θ) = ^x eoθ 2 x I(0,+o)(x),       θ > 0,

note that X ~ Gamma(, θ 2 ).

Solution:  As E[X] = 2  2θ(3) , we obtain M  = 入 2X(3) .

Solution:  The likelihood function is

the log-likelihood function is then

y(θ; x) = ln L(θ; x) = 3n ln θ _ n ln Γ() +      ln xi _ θ 2     xi ,

its derivative w.r. to θ is

∂                  3n

∂θ                θ

which vanishes if θ = ┌ , this is indeed a maximum since

∂2                            3n

∂θ 2                           θ 2

(c) Is L  asymptotically unbiased? Is it unbiased?                             

= 入 ) 33n2在2) y 32(在) o1  eoθ 2 y  dy = 入 2(3n) = 入 θ . 1) y 3在1 o1  eoθ 2 y

è                                                                                             μ

density of a Gamma r.v.

0      Γ(  ) y  2               eoθ 2 y  dy

dy = 入   θ

è                                                     μ

★

and the ratio ★ is different from 1, this means that L  is not unbiased.

Solution:  As

_E –  (ln f (X; θ))! =  + 2E[X] =  ,

the Fisher information of the sample is wx =  .

(e) Find a level 1 _ α confidence interval for θ

Solution:  As

-n(L _ θ) s Norm  ╱0, 、 ,

θ ∈ L 土 zα/2┌  2Ln .

Question 2 (5 points)

Consider a single observation distributed according to the probability density

exoθ         

f (x; θ) =  (1 + exoθ )2 ,        θ ∈ e,

(a) find the MP (Most Powerful) level α test for the hypotheses

H0  : θ0 = 0   vs.   H1  : θ 1 = 1;

Solution:  Let us use Neyman-Pearson theorem: bearing in mind that we have a single observation we reject H0  if f (x; θ1 ) > kf (x; θ0 ) in our specific case this boils down to f (x; 1) > kf (x; 0) that is

exo1                       ex       

(1 + exo1)2           (1 + ex )2

÷

1 + ex  

> k1

the function h(x) = e弘1   is increasing (the derivative is always positive) therefore I = Rx ∈ R : x > k}

with k such that Pθ=0(X > k) = α, as Pθ=0(X > k) = 1 _ FX(k) =  we get that  = α hence ek  =  and

I = {x ∈ R : x > ln  } .

(b) find the UMP (Uniformly Most Powerful) level α test for the hypotheses

H0  : θ = 0   vs.   H1  : θ > 0;

Solution:  Repeating the above calculations with θ 1  = θ (and not θ 1  = 1, we see that (provided that θ > 0, hence h is increasing) the results are the same, therefore I does not depend on θ 1  and we can assume that I is the critical region also for the UMP test.

(c)  Compute the power function of the test found in part (b).