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MAST20029 Engineering Mathematics

Semester 2 2022

Assignment 1

1.  Consider the double integral

2≠      1

I =                 j (t．╱) d╱ dt

＋         cos Y

(a)  Sketch the region of integration.

(b)  Calculate the area of the region of integration.

(c)  Obtain a double integral equivalent to I but with the order of integration reversed.

2. Let V be the solid region in R3  bounded above by the cone 之 = ·^t2 + ╱ 2  and bounded below by the sphere t2 + ╱ 2 + 之2  = 9.

(a)  Sketch the region V .

(b)  Calculate the volume of V by using spherical coordinates.

(c)  Calculate the volume of V by using cylindrical coordinates.

(d)  Calculate the surface area of the part of V that lies on the sphere t2 + ╱ 2 + 之2  = 9 and for which 之 > ·5/2, by solving an appropriate double integral.

(e) Verify your answer to part (d) by computing the double integral using MATLAB.

3. Let s be the part of the surface t2 +╱2 + 之2  = 1 such that ╱ < 0 and 之 > 0, oriented with upwards unit normal. Let C be the boundary of s, oriented anti-clockwise when viewed from above.

(a)  Sketch the surface s, indicating the orientation of s and C.

(b)  Give a parametrisation for C in terms of a parameter f, with f increasing, beginning and ending at the point (1．0．0).

(c) Using your parametrisation in part (b), use MATLAB to plot the curve C.

(d) Find the flux of the vector field

F(t．╱．之) = 之j + e^Y2 ′u2 k

across s.