Question 1. Let an  ∈ R for n ≥ 1, and suppose that 对 an converges. Decide which of the following is true or false.  If true, give a proof, if false give an example of a sequence (an )n≥1  for which the statement is false. (a)   对(− 1)n an  converges. (c)   对 an(3)  converges.

Solution (a).  This is false.  If an  = ( − 1)n /n then 对 an  converges (by the alternating series theorem), but 对(− 1)n an  is the harmonic series, which we

proved diverges.

Solution  (b).  This is false.  If an  = ( − 1)n /^n, then 对 an  converges (by the alternating series theorem), but 对 an2  is the harmonic series, which we proved diverges.

Solution  (c)* This is false but an example is not so easy to find.  Try to see where the following proof fails: by Cauchy critetion, for all e > 0, there exists N such that |对n>N an | < ^e, by Cauchy, and |an | < ^e for n > N since limn→∞ an = 0. Since an(2) = |an |2  > 0,

I an(3) I ≤n(s)pN |an |2 I an I.

Both quantities are at most ^e, and so the above expression is less than e. By Cauchy, this means 对 an(3)  converges. Can you spot the error? 

Question 2. For n ≥ 1, let fn (北) = sin(北n)北n  and let

∞

f(北) =工 fn (北).

n=1

(a) Prove that f is continuous on ( − 1, 1).

(b) Is f(北) differentiable on ( − 1, 1)? If so prove it, otherwise disprove it. 

(c) Is f(北) continuous at 北 = 1? If so prove it, otherwise disprove it.

 

 

Solution (a).  For this it is enough to prove that for any 0 < s < 1, there

exists Mn  such that 之 Mn  converges and |fn (北)| ≤ Mn  for all 北 ∈ [ −s,s]. 

This is true since  |fn (北)|  ≤  |sin 北n ||北 |n   ≤  sn   and so with Mn   =  sn  we

have 之 Mn  converges (it is a geometric series and 0 < s < 1).  Therefore

by the Weierstrass M-test, 之 fn (北) converges uniformly to f on  [ −s,s] for

0  <  s  <  1 .   Since  fn   is  a  polynomial  it  is  continuous  on  [ −s,s],  so  by  the

theorem in the notes, f is continuous on  [ −s,s] .  To see that f is continuous

at  any 北  ∈  ( − 1, 1),  we note  f  is continuous on  [ − |北 |, |北 |]  and hence  f  is

Solution (b). We have f(北) = ncos(北n)北n + nsin(北n)北n − 1  for n ≥ 1. Our guess should be that

∞

f\ (北) =工 ncos(北n)北n + nsin(北n)北n − 1 .

n=1

If gn (北) = ncos(北n)北n +nsin(北n)北n − 1  and 北 ∈ [ −s,s] where 0 < s < 1, then 

|gn (北)| ≤ ns +nsnn − 1  ≤ 2nsn − 1 . Since 之(2n)sn − 1 is a convergent power series

for 0 < s < 1, the Weierstrass M-test with Mn  = (2n)sn − 1  shows 之 gn (北)

converges and in fact is continuous on [ −s,s].  See the proof of Theorem 2 

(ii) in the book to see how to prove 之 gn (北) = f\ (北).

Solution (c).  We have f(1) = 之 sin(n), which is a sum that does not converge, so f(1) is not even defined (therefore f is clearly not continuous at

北 = 1.)

Question 3. Let f(x) = (ex − 1)/x for x ∈ R/{0} and f(0) = 1. Determine

a sequence ak  such that the polynomials fn (x) = 对k(n)=0 ak xk (1 − x)n −k  for 

n ≥ 1 converge uniformly to f(x) on [0, 1]. Does fn (x) converge uniformly to f(x) on the whole of R?

 

Solution. The function f is continuous on [0, 1], the only issue being when x = 0: in that case we have continuity since

lim(ex − 1)/x = lim ex = 1

 

fn (x) =  f(k/n) (  )k(n) xk (1 − x)n −k .

Since f(k/n) = (ek/n − 1)n/k, we have

ak  = (ek/n − 1)n/k · (  )k(n) .

By the Weierstrass approximation theorem, fn → f uniformly on [0, 1]. The convergence is not uniform on all of R: let us determine that

sup{|fn (x) − f(x)| : x ∈ R}

does not converge to zero.  One should pick x = xn  very large so that in fact the difference diverges.  We leave this to the reader!  Therefore fn  → f pointwise but not uniformly.