Solution (a).  The series converges since limn→∞ (n + 1)/(n2 log n) = 0, by the alternating series theorem. The series does not converge absolutely.

∞    n + 1 

diverges if the following integral

\2 n dx

diverges as n → ∞ . This integral is larger than

\2 n dx = log log x '2(n) = log log n − log log 2

which diverges as n → ∞ .

Question 2. Let f(x) = ex .

(a)   Determine the nth Bernstein polynomial fn (x).

(b)   Does fn (x) converge uniformly to f(x) for x ≥ 0?

Solution (a).

fn (x) =对(b) ek/n (  )k(n) xk (1 − x)n−k  = (1 − x)n 对(n) (  ) (k(n) )k

and by the binomial theorem this is

(1 − x)n (1 + e1/nx/(1 − x))n = (1 − x + xe1/n)n .                Solution (b). The convergence is not uniform – see notes in Lecture 3. 

Question 3.  Determine the Taylor series for f(x) = arctanx about x = 0 together with the radius of convergence of the Taylor series. Does the series converge at the endpoints of the interval of convergence?

Solution. Using Taylor’s Theorem, and recalling f\ (x) = 1/(1+x2 ), we have

f(x) =  

for −1 < x < 1, and the radius of convergence is r = 1. The series converges at x = 1 and at x = −1. We will go over the details in class.