Question I   Consider the causal model

Y = a + Xfβ + Xf(2)(y + Xo)

where Xf  stands for the causal factor of interest, and Xo  stands for other causal factors.            (a) What is the  ceteris paribus  causal e§ect of Xf  on Y? Please provide a mathematical

deÖnition.

(b) Does the ceteris paribus causal e§ect deÖned in (a) depend on the levels of Xf  and Xo? Explain.

(c) Suppose (Xfi; Xoi) are iid draws from independent standard normal distributions, i.e., Xfi  ~ iidN (0; 1); Xoi  ~ iidN (0; 1), {Xfi} and {Xoi} are independent.  We observe Xfi and

Yi = a + Xfiβ + Xf(2)i(y + Xoi)

for i = 1; :::; n: Suppose the sample size n is large, and Y is regressed on a constant and Xf: What do you expect the coe¢ cient estimator associated with Xf  to be? Please present your answer in terms of the parameters a; β; and y:

Question II    (a) Consider the causal model y = x3 + u: Given some iid draws (Xi; ui) where Xi  and ui  are independent standard normals, we obtain

Yi = Xi(3) + ui

Compute E (Yi|Xi = x) :

(b) Based on observations (Xi; Yi) from the above model, we run the following regression

Yi = a + Xib + errori

to obtain the OLS estimator OLS and OLS : What would you expect the value of OLS to be when n 二 &? What would you expect the value of OLS  to be when n 二 &?(hint: EX = EX3  = 0; EX2 = 1; and EX4 = 3)

(c) Graph the functions y = x3  and y = a* + xb*  in the same graph where a*  and b*  are the limit values of a*  and b*  that you Önd in (b).  Do you expect the two functions to be close to each other? Explain.

Question III   Consider the two-equation causal/structural model:

Y1     =   5 + Y2 + "2                                                                                    (2)

where "1  and "2  are independent standard normal. To help you understand the equation system, you can think of the Örst equation as the demand curve where Y1  is the demand and Y2  is the price, and the second equation as the supply curve where Y1  is the supply and Y2  is the price.

1.  Solve Y1  and Y2  in terms of ("1 ; "2 ).

2. Find cov (Y2; "1 ) and cov (Y2; "2 ) :

3.  Given some iid draws ("1i; "2i) ; the two-equation system produces the observations (Y1i; Y2i) : Let OLS  be the OLS estimator obtained by regressing Y1  on a constant and Y2: What do     you expect OLS  to be when n 二 &?

4.  ìIn large samples, we expect OLS  to fall in the interval [-2,1]î.  Do you agree with this statement? Explain.

Question IV   Consider the following causal model

y   -   bx + v;

x   -   cy + u;

where b  0; c  0 and bc  1: Suppose that the values of (u; v) are generated from

(U; V) ~ N ┌0;   、┐ :

We do not observe (U; V) but we could observe the equilibrium solution (X ,Y).

(a) Consider the special case with 7uu = 0 but 7vv   0 so that the model becomes

y   -   bx + v;

x   -   cy:

What is best linear prediction of Y given X (i.e., suppose I give you the value of X but withhold the value of Y; what would be your best guess of Y according to the MSE criterion?).  What is best linear prediction of X given Y?

(b) Consider the special case with 7vv  = 0 but 7uu  0 so that the model becomes

y   -   bx;

x   -   cy + u

What is best linear prediction of Y given X? What is best linear prediction of X given Y?

(c) Now suppose 7uu   0 and 7vv   0: Under what condition(s) is X useless as a predictor of Y? Under what condition(s) is Y useless as a predictor of X? Explain.