1.   (a)  Generate 100 realisations of the sample variance of 10 independent N(0．1) random variables and store them in s2.

(b)  Plot the histogram of  (10-1)*s2 and overlay it with the density function of the Ⅹ9(2)  distribution (use dchisq).

(c)  Repeat (a) and (b) with n = 60 independent N(0．1) random variables. Over- lay the histogram with both the density curve of Ⅹn(2) − 1  and the density curve of N(n _ 1．2(n _ 1)) (in two different colours). Comment on the fit.

(d)  For n = 60, compute P ((n _ 1) _ 82  > 68) using both the exact distribution (Ⅹn(2) − 1 ) and the normal approximation. Compare the results.

2.   (a)  When two random variables (X．y) follow a bivariate normal distribution, the covariance matrix Σ is defined as

Σ = .βσ 1(σ)σ222 、．

where β is the correlation, σ1(2)．σ2(2)  are the variances of X and y respectively. Use mvrnorm from the MASS library (use library(MASS)) to generate 100 samples from a bivariate normal distribution with μ = (μ1．μ2 ) with μ 1  = 2,

μ2  = 3, and Σ = .1(1)   4(1)、. Call the first column x and the second column y.

(b)  Plot the histogram of x and overlay it with the corresponding marginal normal density. Repeat for y. (Recall the marginal distribution of X is N(μ1．σ 1(2)).)

(c)  Produce a scatter plot of x and y (use plot). Compute the sample correlation coefficient (use cor) and compare with the population correlation β .  (First work out β in the Σ given.)

3.   (a)  Generate 100 realizations of the uniform U(0．1) distribution and store it in

u.  Apply the transformation 2 = _ log u.  Verify that 2 is a sample from an exponential(1) distribution by plot the histogram of 2 and overlay it with the density of the distribution.