Exercise  1.  [5 points] Warming up

A bank classifies borrowers as high risk or low risk.  Only 15% of its loans are made to those in the high-risk category.  Of all its loans, 5% are in default, and 40% of those in default were made to high-risk borrowers. What is the probability that a high-risk borrower will default?

Exercise  2.  [20 points] Expectation and Variance

a) Use linearity of the expectation and the definition of population variance to show that, for a random variable X with finite moments:  [10 points]

E[X2] = (E[X])2 + V[X]

b) Use linearity of expectation and the definition of covariance to show that:

Cov(aX + bY, cZ + dW) = ac . Cov(X, Z) + ad . Cov(X, W) + bc . Cov(Y, Z) + bd . Cov(Y, W)

where X, Y, Z, W are random variables and a, b, c, d are real numbers. We call this property bilinearity, that is Cov(., .) is linear in each of its arguments.  [10 points]

Exercise  3.  [25 points] Sample Space and Independence

A graduating engineer has signed up for three job interviews. She intends to categorize each one as being either a “success” or a “failure” depending on whether it leads to a plant trip.

a) Write out the appropriate sample space for the three job interviews “random experiment.” [5 points]

b) How many numbers do you need to know to completely specify this probability distribution? Remem- ber, it is enough to specify what is the probability of each point in the sample space.  [5 points]

c) How does your answer to part b) change if you learn that each internship outcome is independent of all others?  [5 points]

d) How does your answer to part b) change if you learn that each internship outcome is independent of all others and that the three internship outcomes follow the same distribution?  [5 points]

e) Give your reasoning on why you believe it is unrealistic to assume that the interview outcomes are independent.  [5 points]

Exercise  4.  [15 points] Standardization

You are given a random variable X, which represents the age of the candidates for a senior position in a tech company. You know E[X] = µ and V(X) = σ 2  are finite.

a) Consider the random variable Y =  . Compute its expectation E[Y] and its V(Y).  [10 points]

b) Now suppose we additionally know that X is distributed N(45, 5). Use Y and the normal tables/cal-

culator to compute P (40 < X < 43).  [5 points]

Exercise  5.  [15 points] Conditional Probabilities and Floods in Jakarta

Jakarta, the capital city of Indonesia, has historically experienced a high risk of floods. Some developers have created an app to evaluate the risk of a flood in fragile areas given the rainfall observed in a nearby location.  Denote F to be the event that a flood occurs.  R denotes a continuous random variable, weekly rainfall measured in millimeters. You are given the following joint frequency table.

Table 1: Rainfall & Flood Risk in Jakarta

a) Compute the conditional probability of flood for each class of rainfall intensity. Fill in the following table. [5 points]

Rainfall intensity                         

< 1

[1, 5)

[5, 10)

[10, 20)

[20, 50)

[50, 100)

100+

b) Compute the probability of a flood given that the rainfall is below 50mm. That is compute P (F IR < 50mm).  [5 points]

c) Compute the probability of no flood occurring when the rain fall is above 50mm.  That is, compute P (Fc IR > 50mm).  [5 points]

Exercise  6.  [20 points] Conditional Expectation

You are offered the following game:

-A 6-faced fair die is rolled. Call the result of this roll J

-A coin is flipped, if it lands heads you win 2J  dollars, if it lands tails you win J.

a) What is the probability you win more than 25$ at this game?  [10 points]

b) Compute the conditional expectation of the amount you win conditional on J and then use the Law of Iterated Expectations to compute the expected amount you win after playing the game.  [10 points]