1.   (a)  Consider the scalar field 4(r) = q r3 with q a positive constant   and r = ^x2 + y2 + z2 . Evaluate a surface integral to obtain            the flux of the vector field G(r) = 史4 through the surface of a         sphere of radius R centred at the origin. (You can use the              vectorial surface area element dS of a sphere without                     derivation.)

(b)  Calculate the flux by rewriting the surface integral of part (a)   

as a volume integral, using Gauss’s theorem.

(c)  Show that the line integral                                                    

I =     F(r)．dS

of the vector field

F(r) = 3y x + z y  一 2x z

along the closed triangular contour C from A(1, 0, 0) to         B(0, 1, 0) to C(0, 0, c) (c > 0) and then back to A is equal to (c 一 3)/2.

(d)     i. Obtain the result of question (c) by using Stokes’s         

theorem and evaluating the resulting surface integral.

ii. Give a geometrical interpretation of why the flux vanishes  for c = 3.

2.   (a)  Determine the general solutions of the following ordinary       differential equations (ODEs),

i.     = x2 一3x(y) 一 2        ii.   x  + 3y = x3 .

(b)  Consider a damped harmonic oscillator with eigen-frequency   o0  > 0 and damping y = 2o0 . The equation of motion for the        displacement x as a function of time t is given by the

second-order ODE

dt2   + y dt + o0(2)x = 0.

Show that the solution that satisfies the initial conditions

x(0) = 0 and x\ (0) = v0   0 is given by

x(t) = v0 te–o0 t .

(c) The same damped oscillator is now subject to a periodic driving force, resulting in the modified equation of motion

d2x        dx

Show that after a long time the system oscillates with

amplitude f0 /(o2 + o0(2)). (You might use that

仪 sin(ot) 一 β cos(ot) = ^仪2 + β2 sin(ot 一 4) with

4 = arctan(β/仪).)

3.  Consider the matrix

╱ 1   0

0一b 、．

．