Problem  1. A stock currently sells for $40.00.  A 6-month call option written on the stock with a strike price of $45.00 has a premium of $3.87.   Assuming a 4% continuously compounded risk-free rate and a 7% continuous dividend yield, what is the price of a 6-month put option written on the stock with a strike price of $45.00? [Show your solution with details.]                                                                                 Problem 2. Suppose call and put option prices on the same underlying with same expiration are given by:

(1) (3 points) Show that you can not efect arbitrage only based on call options.

(2) (2 points) Find the convexity violations.

(3) (5 points) What spread would you use to efect arbitrage? Demonstrate that the spread position is an arbitrage.

Problem 3. (10 points) Consider the following two-period model for the stock S: S2  = $144

S1  = $120

S0  = $100

S2  = $108

S1  = $90

S2  = $81

Assume the both interest rate and dividend yield rate are zero. Find the risk neutral probability. [S1  is stock price after one period.]

Problem 4. (10 points) Let S = $100, K = $95, r = 8%, T = 0.5, and 6 = 0. r is the continuously compounded interest rate. Let u = 1.1, d = 0.9, and n = 2. Construct the binomial tree for pricing and hedging a European put option on S . At each node provide the option premium,  and B.

1.  Solution

Problem 1 . Using standard put-call parity formula

P(45, 0.5) = C(45, 0.5) — e —6T S0 + e —rT 45.

P(45, 0.5) = $3.87 — e —0.07*0.540 + e —0.04*0.545 = $9.354

Problem 2. (1)   (a) Call option premium decreases as the strike price K increases. (b)

C(K1 ) — C(K2 ) = 3  K2  — K1  = 5

C(K2 ) — C(K3 ) = 4  K3  — K2  = 10

(c)

C(K1 ) — C(K2 )     3      4      C(K2 ) — C(K3 )

K2  — K1                  5      10           K3  — K2

Since all inequality conditions are satisied for the option premium, we can not efect arbitrage only based on call options.

(2)

P(K2 ) — P(K1 )     3      4      P(K3 ) — P(K2 )

K2  — K1                  5      10           K3  — K2          ,

so the put option premium violates the convexity condition.

(3) λ = K3—K2K3—K1   = 23, so consider buy 2 45-strike put options, 1 60-strike put option and sell 3 50-strike put options.

From the table above, we can see that we can efect arbitrage with this combi- nation.

Problem 3. By usual formula from Chapter 10 of MacDonald:

P*  = (1 + r — d)/(u — d) = (1 — 0.9)/(1.2 — 0.9) = 1/3

Problem 4 .

 = e —6h Pu  — PdS(u—d)

B = e —rh uPd — dPu

Option price P =  · S + B = e —rh  (Pu e(r—6)h — du—d + Pd u — e(r—6)hu—d)

Based on the formulas, we can construct the following binomial tree:

S0  = $100

P0  = $2.141

 = -0.274

B = 29.518

S1  = $110

Pu  = $0

 = 0

B = 0

S1  = $90

Pd  = $5.475

 = -0.778

B = 75.475

S2  = $121

Puu  = $0

S2  = $99     Pud  = Pdu  = $0

S2  = $81

Pdd  = $14