This is an open-book and take-home exam. Using computers (R, typing, etc.) to answer questions are not allowed, but you can use computers to upload files and ask questions during the exam. Also, you could write on your tablets.

Answer all questions and write all answers directly on the exam in the space provided.  If you need more space, you may use extra sheets of paper. Time limit is 1 hour and 50 minutes.  Total points = 102.

I.  Return Calculations (21 pts, 3 points each)

Consider a 60-month (5 year) investment in two assets: the Vanguard S&P 500 index (VFINX) and Amazon stock (AMZN). Suppose you buy one share of the S&P 500 fund and  one  share  of  Amazon  stock  at  the  end  of  January,  2017  for  Pvfinx,t−60  = 35, Pamzn,t−60  = 18 , and then sell these shares at the end of January, 2022 for Pvfinx,t  = 310, Pamzn,t  =  150. In this question, you will see how much money you could have made if you invested in these assets right after the financial crisis.

a.   What are the simple 60-month (5-year) returns for the two investments?

b. What are the continuously compounded (cc) 60-month (5-year) returns for the two investments? Why are the cc returns smaller?

c. Suppose you invested $10,000 in each asset at the end of January, 2017. How much would each investment be worth at the end of January, 2022?

d. What are the compound annual returns on the two 5-year investments?

e. At the end of January, 2017, suppose you plan to invest in a portfolio of VFINX and AMZN over the next 60 months (5 years). Suppose you purchase 7 shares of the VFINX mutual fund (at $35/share) and 5 shares of AMZN stock (at $18/share). What is the value of your initial investment? What are the portfolio weights in the two assets as of the end of January, 2017?

f. Using the results from part a. compute the 5-year simple and cc portfolio returns.

g. What is the value of your portfolio at the end of January, 2022? What is the value of your investments in VFINX and AMZN? What is share of wealth invested in VFINX and AMZN (i.e., your portfolio weights)?

II. Probability Theory (15 points, 3 points each)

a.   Suppose we have Yt  = −0.5  + et  + et−1 , et  ~ i. i. d. N(0, 1), calculate the following equation:

Cov(Yt  + Yt−1, Yt−1)

b.   Let X and Y be two random variables such that cov(X, Y) < ∞ . If Y = aX + b where a & b are constants, and a > 0, calculate pXY .

Let Rvfinx and RAMZN  denote the monthly simple returns on VFINX and AMZN and suppose that Rvfinx ~N(0.02, (0.04)2),    RAMZN ~N(0.03,  (0.08)2).

c. Let W0 = $100,000 be the initial wealth invested in each asset. Compute the 1% monthly Value-at-Risk values for each asset. (Hint: q0(Z)01  = −2.326).

d. Continuing with c, state in words what the 1% Value-at-Risk numbers represent (i.e., explain what 1% Value-at-Risk for a one month $100,000 investment means)

e. Use the square-root-of-time rule to approximate the normal distributions for the annual returns on VFINX and AMZN. That is, compute the approximate annual expected returns and annual standard deviations of the two assets using the aggregation formulas that are exact for continuously compounded returns but are approximate for simple returns.

III. Time Series Concepts (15 points, 3 points each)

a. Let {t } represent a stochastic process. Explain what it means for {t } to be covariance stationary and ergodic.

b. Theoretical autocorrelation functions (ACFs) from four stochastic processes are given in Figure 1 below.

Figure 1:  Theoretical ACFs for four stochastic processes.

Which ACFs are consistent with covariance stationary and ergodic stochastic processes? For those processes that you think are not covariance stationary and ergodic, explain why.

c. The GWN model for cc returns

Tt  = 3u + 0.5et , et ~iid N(4, 4),

implies that the log price follows a random walk with drift

ln Pt  = ln Pt−1  + Tt  = ln P0  + 3ut + ∑s(t)=1 0. 5es .

Assume P0  is constant (not random). Show that E[ln Pt ] and vaT ( ln Pt ) depend on t so that ln Pt  is non-stationary.

d. Consider the following model:

Yt  = 1 − 0 5Y.t−1  + et , et  ~ i. i. d.  N(1, 4)

Is it stationary? Why or why not?

e. Based on the model in part d, find the mean, variance, and Cov(Yt , Yt−1) of this process.

IV. Matrix Algebra (12 points, 3 points each)

Consider a system of n linear equations in n unknown variables

a11 x1  + a12x2  + … + a1nxn  = b1

a21x1  + a22x2  + … + a2nxn  = b2

⋮

an1x1  + an2x2  + … + ann xn  = bn

a. Write the system of equations in matrix form as Ax = b .

b. Under what conditions does the system of equations have a unique solution vector x?

c.   Assuming there is a unique solution to the system of equations, use matrix algebra to find that solution.

d.   Write ∑1 xi  and  ∑1 xi yi  using matrix algebra.

V.  Descriptive Statistics (24 points, 3 points each)

Figure 2 shows monthly simple returns on the Vanguard S&P 500 index (VFINX) and Amazon stock (AMZN) over the 6-year period January 2015, through January 2021.   For this period there are T=72 monthly returns.

Figure 2: Monthly simple returns on two assets.

a. Do the monthly returns from the two assets look like realizations from a covariance stationary stochastic process? Why or why not?

b.   Compare and contrast the return characteristics of the two assets. In addition, comment on any common features, if any, of the two-return series.

c.   Figure 3 below gives the cumulative simple returns (equity curve) of each fund which represents the growth of $1 invested in each fund over the sample period. Briefly explain how this computation is done. Which fund performed better over the sample?

Figure 3 Cumulative simple returns on two assets.

The figures below give some graphical diagnostics of the return distributions for VFINX and AMZN.

The following table summarizes some sample descriptive statistics of the T=72 monthly returns.

Table 1 Descriptive Statistics

d.   Do the returns on VFINX and AMZN look normally distributed? Briefly justify your answer.

e. Which asset appears to be riskier? Briefly justify your answer.

f. Does there appear to be any contemporaneous linear dependence between the returns on VFINX and AMZN?  Briefly justify your answer.

g. Do the monthly returns show any evidence of (linear) time dependence? Briefly justify your answer.

h. Let W0 = $100,000 be the initial wealth invested in each asset. Compute the 1% monthly historical Value-at-Risk for each asset. (Recall, the data are simple returns here).

VI. Gaussian White Noise Model (15 points, 3 points each)

Consider the gaussian white noise (GWN) model

Rit  = ui  + eit , eit ~iid N(0, Gi2)

cov( Tit , Tjt ) = Gij , coT (Tit , Tjt ) = pij

for the monthly simple returns on the Vanguard S&P500 index (VFINX) and Amazon stock (AMZN) presented in part V above. Below are simulated returns and some

graphical descriptive statistics for VFINX and AMZN from the GWN model calibrated using the sample estimates of the GWN model parameters for the two assets (these are the sample statistics from the table of the previous question).

a. Which features of the actual returns shown in part V are captured by the simulated GWN model returns and which features are not?

b. Does the GWN model appear to be a good model for VFINX and AMZN returns? Why or why not?

The following R output gives the estimates of  ui , ai , aij  and pij for the S&P 500 index (VFINX) and Amazon stock (AMZN) from the T=72 months of data:

> muhat.vals

vfinx    AMZN

0.0112   0.0344

> sigmahat.vals

vfinx   AMZN

0.0441 0.0845

> covhat.vals

vfinx,AMZN

0.00241

> rhohat.vals

vfinx,AMZN

0.648

c. For each asset, compute estimated standard errors for ,  and  . Using the table below, show the estimates in one row and the standard errors in another row. Are the estimates precise? Briefly justify your answers.