1 (of 4).

(a)    Suppose that N  = {N(t)  : t  ≥ 0}, is a birth and death processes with birth rates λ0 , λ1 , λ2 , · · · and death rates u1 , u2 , · · · . Write down the Master (or the forward Kolmogorov) equations for the transition probabilities

pij (t) = P(N(t) = j 图 N(0) = i),  t ≥ 0,                      (1. 1)

where i, j are natural numbers, i.e. i, j ∈ N. Let me recall that in this course

N = {0, 1, 2, 3, · · · }.                                                                                          [3]

(b)    Suppose that N  = {N(t)  :  t  ≥ 0}, is a Poisson processes with rate λ = 3. Deduce from part (a) above the equations for the transition probabilities

pj (t) = P(N(t) = j),  t ≥ 0,                              (1.2)

where j is a natural number. Solve these equations for j = 0 and j = 1.     [7]

(c)    Consider a birth and death processes N = {N(t) : t ≥ 0} whose birth-death rates are given by

λn  = √nλ + 3,   n = 0, 1, 2, 3, · · · un  = √nu,   n = 0, 1, 2, 3, · · · .

where λ, u, ν are parameters such that

λ ≥ 0, u > 0

(1.3)

(1.4)

Find a condition, in terms of the parameters λ and u, that the process N has a stationary distribution.

An answer to this Question should include precisely stated definitions and theorem you use.                                                                                            [10]

(d)    Suppose that X and Y are independent random variables.

Assume that random variables X+Y and Y are Poisson random variables with parameters 7 and 2 respectively.

Show that X is a Poisson random variable with parameter 5.

You can use a direct method or a formula for the moment generating function of a Poisson random variable.

[5]

[Total: 25]

2 (of 4).      A certain huge hypermarket in a very busy city has two entrances, the north and

the south, denoted by N and S. Customers enter the hypermarket through these entrances, in an independent way.  We model the number of customers arriving through those two entrances by Poisson processes with rates

λ = 2 for entrance N

u = 3 for entrance S

and we measure time in minutes. All your answers should be based on this model.

(a)    Natalie will count the number of customers arriving through the entrance N. What is the expected number of customers arriving in the first 60 minutes she will count?                                                                                                        [3]

(b)    What is the probability that the number of customers Natalie will count in the first minute is less or equal than 2?                                                                 [3]

(c)    What is the probability that the number of customers counted by Natalie in the first three minutes is equal to 9 knowing that the number of customers that arrived in the first minute is 6?                                                                [4]

(d)    Steve will count the number of customers arriving entrance S. What is the probability that the number of customers counted by Steve in the first minute is equal to 3 knowing that the number of customers  that arrived in the first two minutes is 6?                                                                                             [6]

(e)    What is the expected number of all customers arriving in the first 13 minutes to the hypermarket?                                                                                         [3]

(f)    Natalie will stop doing her job after 100 customers. Her job will be taken by Alice. What is the expected number of customers arriving through entrance N in the first 30 minutes of Alice job?                                                            [6]

[Total: 25]

3 (of 4).

In all your answers, you need to state without proof any theorem you use and to state any definition you use.

(a)    Assume that ξ is a normal random variable with parameters u and σ2  = 4, i.e. ξ ∼ N(u, 4), where u ∈ R.

E[e5ξ] = e5ue50 .                                      (3. 1)

State without proof any theorem you use.

Hint.  Consider first the case u = 0. Then, in the general case, observe that

ξ − u ∼ N(0, 4).                                                                                                [8]

(b)    Assume that ξ is a normal random variable with parameters 0 and σ2 , i.e. ξ ∼ N(0, σ2 ), where σ2  > 0. Calculate

E[aξ + bξ2  + cξ3  + dξ4 ],                               (3.2)

where a, b, c, d are real numbers.                                                                    [5]

(c)    Assume that a stochastic process W = {W(t) : t ≥ 0} defined on a probability space (Ω , F, P) is a Brownian Motion. Show that

E[W(s)W(t)] = min{s, t},  s, t ≥ 0.                        (3.3)

[3]

3 (of 4) cont.

(d)    Assume that a stochastic process W = {W(t) : t ≥ 0} defined on a probability space (Ω , F, P) is a Brownian Motion.

Let ξ = (ξ(t) : t ≥ 0)be a stochastic processes given by

 − 1,

ξ(t) =  (W(3))3 , 

0,

if 0 ≤ t < 3,

if 3 ≤ t < 5,

if 5 ≤ t < 8,

if t ≥ 8.

(i)    Demonstrate that ξ is a step process.

(ii)    Evaluate the It integral I(ξ) of a step process ξ with respect to the Brow- nian Motion W = {W(t) : t ≥ 0}.

(iii)    Compute the mean value of the random variable I(ξ).                            [4]

(e)    Deduce from part (c) that the random variables W(1) and W(3) are not inde-

pendent.                                                                                                            [5]

[Total: 25]

4 (of 4).      In all your answers, you need to state without proof any theorem you use and to

state any definition you use.

In the whole question we assume that a stochastic process W  = {W(t)  :  t  ≥ 0} defined on a probability space (Ω , F, P) is a Brownian Motion.

(a)    Using the It Lemma find a real number a such that

eat+4W(t)     =   1 + 4 l0t  eas+4W(s) dW(s),    t ≥ 0.

[5]

(b)    Use the previous part to calculate, for t ≥ 0,

E[e4W(t)]

[3]

4 (of 4) cont.

(c)    Assume that a process X  =  (X(t)  :  t  ≥ 0) is a solution to the following stochastic differential equation:

dX(t) = 2X(t) dt + 3X(t)dW(t)                              (4. 1)

Using an appropriate version of the It Lemma show that a process Y = (Y(t) : t ≥ 0)defined by

Y(t) = (X(t))2 ,  t ≥ 0,

is a solution to the stochastic differential equation (SDE):

dY(t) = aY(t) dt + bY(t)dW(t)                               (4.2)

with some constants a and b. Find those constants.                                    [10]

Hint.  You may first solve equation (4. 1), calculate the process Y and then verify that Y satisfies equation (4.2).

Alternatively, you can prove what is required in a more direct way without finding an explicit formula for a solution to equation (4. 1).

(d)    Calculate the following

E[l0 ∞ 图 l0t (W(s))2 dW(s) 图2 e−t dt]

[7]

[Total: 25]