1 (of 4).       (a)    Give a definition of a Poisson process N = {N(t) : t 2 0} with rate λ .    [4]

(b)    Write down the formula for the transition probabilities

P (N(t) = jIN(s) = i)

for any t 2 s 2 0 and j 2 i 2 0.                                                                    [4]

(c)    Assuming that

P (N(1) = j) = e_3 ,  j = 0, 1, 2, 3, . . .

calculate, providing explanation for each step of your calculations, E[N(1)].

[6]

1 (of 4) cont.

(d)    The photons emitted by an LED result from the recombination of electron- hole pairs. Assume that the number of photons is modelled using a Poisson process with rate of 10 photons per second.

(i)    What is the probability that exactly 8 photons have been emitted during the first 1 second?                                                                                     [2]

(ii)    What is the probability that at most 1 photon has been emitted during the

first 1 second?                                                                                           [2]

(iii)    What is the probability that at least 1 photon has been emitted during the

first 1 second?                                                                                           [2]

(iv)    What is the probability that exactly 2 photons arrive during the first 1

second and exactly 3 photons arrive during the first 3 seconds?           [2]

(v)    It is known that exactly 4 photons have been emitted during the first 3 seconds. What is the probability that exactly 1 photon has been emitted in the first 1 second?                                                                                 [2]

(vi)    How many seconds would you expect to have to wait until the first photon has been emitted?                                                                                     [2]

(vii)    Alice was counting the emitted photons. After she has counted the first 1000 photons, she was replaced by her colleague Bob.

What is the probability that exactly 5 photons have been counted by Bob

during the first 2 seconds on his watch?                                                 [2]

State explicitly any properties of the Poisson process used in your calcula- tions.

[Total: 28]

2 (of 4).       (a)    Give a definition of a Brownian Motion W = {W (t) : t 2 0}.

(b)    Assuming that W (t), for t > 0, has density

1          x2

pt (x) = ^2πt e_ 2t  , x e R,

calculate the probability

P (W (1) 二 0) .

(c)    Assuming that W (t), for t > 0, has density

1          x2

pt (x) = ^2πt e_ 2t  , x e R, show that for t 2 0 the following equalities hold:

E [e4W (1/2)] = e4 ,

E [(W (1))2] = 1,

E [(W (5))3 e_(W (5))2 ] = 0.

State without proof any result you are using.                                               [13]

[Total: 23]

3 (of 4).       (a)    Suppose that N  =  N(t), t  2  0 is a birth-death process with birth rates

λ0 , λ 1 , λ2 , . . . 2 0 and death rates µ 1 , µ2 , . . . 2 0.

Write down the Master (or the forward Kolmogorov) equations for the tran- sition probabilities

pij (t) = P╱N(t) = jIN(0) = i、,  t 2 0,

where i, j are natural numbers such that j 2 i 2 0.

[4]

(b)    Assume that b, a > 0 are two fixed numbers.  Consider a system consisting of K telephone lines.  We assume that K  2 3.  If n lines are busy, where n 二 K, then with probability nbh, one of them will be freed within small time interval of length h > 0.  If n lines are busy, where n 二 K _ 1, then with probability ah, a new call will arrive.  The probability that within that time interval two or more conversations will terminate or two or more calls will arrive, is negligible.

Let N(t), for t 2 0, be the number of occupied telephone lines. Assume that N = (N(t)), t 2 0, is a birth-death process.

Find explicit expressions for the birth and death rates of the process N.

[4]

(c)    Explain why the stationary distribution for the birth-death process from the previous part exists.

Find the stationary distribution for the birth-death process from the previous part.

Hint: You can use a general formula for the stationary distribution of a birth- death process without deriving it.

[8]

[Total: 16]

4 (of 4).       Suppose that W = {W (t)}, t 2 0 is a Brownian Motion.

(a)    Define a step process and then define the It integral for such a process. Let ξ = (ξ(t))t>0 be a stochastic processes given by

!(1              if 0 二 t 二 3,

ξ(t) =  二(二) 5(4)

(

Note that the It integral I(ξ) is also denoted by )05 ξ(s) dW (s).

Compute the mean value of this It integral.                                                 [6]

(b)    State (without a proof) the It isometry.  Compute the variance of this It integral I(ξ) from part (a).

[4]

(c)    State the It Lemma in the simple form.

Assume that T > 0 is a given number. Using the It Lemma show that

.0 T tW (t) dW (t) = T (W (T))2 _  .0 T (W (t))2 dt _ T2 .

[6]

Using the last result show that

E[.0 T tW (t) dW (t)] = 0.

[3]

(d)    Using the It Lemma or otherwise, find the solution to the following stochas- tic differential equation

dX(t) = 3X(t)dt + 4X(t) dW (t), with initial condition X(0) = 1.

(1)

[14]

[Total: 33]