Question 1    (25 marks)

Consider an ion consisting of Ne nucleus (Z=10), µ_  muon and an electron.  The nucleus can be considered as an infinitely heavy uniformly charged ball of radius RN  = 3 × 10_13 cm. The muon is a particle similar to electron but 207 times heavier, mµ  = 207me . In this system the heavier muon sits quite close to the nucleus, where it is not affected by the electron that orbits much further out.

In this problem you may use without derivation the ground state energy and the ground state electron wave function in hydrogen.

p2           e2

2me         r

me e4

aB  =          = 0.53 × 10_8 cm

A. Calculate ionization energy of the electron. Present the formula and the numeri- cal value.

B. Calculate ionization energy of the muon. Present the formula and the numerical value.

C. Calculate the average (root mean square) distance between the electron and the nucleus. Present the formula and the numerical value.

D. Calculate the rms distance between the muon and the nucleus.  Present the for- mula and the numerical value.

E. Calculate probability for the muon to penetrate inside the nucleus.  To simplify the calculation keep in mind that RN  is significantly smaller than the radius of the muon ”orbit” .

Question 2    (25 marks)

Positronium is a hydrogen-like bound state of electron and positron (with no nucleus). Both electron and positron have spin 1/2. Therefore the total spin S = se +sp can take values S = 0, 1. The lowest-energy state with S = 0 is called para-positronium, and the lowest-energy state with S = 1 is called ortho-positronium. In the nonrelativistic approximation these states are degenerate.  However, a spin-dependent relativistic interaction

H = A se  . sp

A = 0.82 × 10_3 eV

lifts the degeneracy.

A. Calculate the energy splitting between para- and ortho-positronium states. Which one has lower energy?

B. Since electron and positron are antiparticles their magnetic moments are opposite:

e  = _2µB se

p  = +2µB se

µB  =  = 0.58 × 10_4 eV/T

Calculate magnetic moments of para- and ortho-positronium states.  The following wave functions for addition of two spins 1/2 might be useful to address this question:

IS = 0, Sz  = 0) =  [I t1 )I t2 ) _ I t1 )I t2 )]

IS = 1, Sz  = 1) = I t1 )I t2 )

IS = 1, Sz  = 0) =  [I t1 )I t2 ) + I t1 )I t2 )]

IS = 1, Sz  = _1) = I t1 )I t2 )

C. When the magnetic field becomes large enough it will overwhelm the coupling between the electron and the positron spins and break down the description of para- and ortho-positronium. Estimate the value of magnetic field at which this occurs and justify your answer.

D. Electron and hole in gallium arsenide (GaAs) semiconductor can form a hydrogen like bound state similar to positronium. However, a peculiarity of GaAs is that while electron has spin se  = 1/2 the hole has spin sh  = 3/2. The interaction between spins is still

H = Ase  . sh  .

(Of course the value of A is different from that for positronium).

(i) Which values of total spin S = se + sh  are possible?

(ii) Calculate splitting between levels with different S in terms of the constant A.

Question 3    (25 marks)

An experimental search for  “fifth force” uses precise measurements of the splitting between 2s and 2p levels in the hydrogen atom.  In particular they search for an additional particle which would add to the usual Coulomb force an additional so- called “Yukawa” potential of the form

e_µr

,

where λ and µ are unknown constants that will depend on the specifics of the undis- covered new particle.

For this question we will use atomic units where the Bohr radius aB   = 1 and the atomic unit of energy is  1 Hartree = 27.2 eV. In these units the hydrogen wave

functions are:

Pnl (r)

r

with

P1s  = 2r e_r

P2s  =  r ╱ 1 _ 、e_r/2

P2p  =  r2 e_r/2

(a) The degenerate n = 2 states of the hydrogen atom are split by the perturbation (1).   Show that the usual wave functions presented above are a good set of eigenstates for this perturbation.

(b)  Calculate the first-order energy shift δE of the 2s state due to the perturba- tion. You may make use of the integral (for integer n 2 0)

o rn e_αr dr =   n!  

(c)  Calculate first-order energy shift of the 2p levels, δE

(d) Hence find the expected splitting between the 2s and 2p levels due to the new particle as a function of λ and µ .

(e) For what value of µ is the experiment most sensitive to a new particle?  (That is, for what value of µ is the splitting largest?)

(f) The 2s – 2p splitting has been experimentally measured to an accuracy of 1.3 × 10_11  eV. Assuming the value of µ from part (e), determine the largest possible value of λ that is consistent with the experiment.

Question 4    (25 marks)

A particle trapped in a one-dimensional harmonic oscillator with angular frequency ω is in a capacitor where it is subject to a spatially uniform but time-dependent force

in the x-direction

(t) = e_ ltl/τ ,    _o < t < o

At time t = _o the particle is in the ground state (n = 0).

First-order perturbation theory gives the differential equation for the coefficients

m  k

c˙m (t) = _  (mI(t)Ik)eiω亿k t

(2)