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STA256H5S LEC0101-LEC0102, Summer 2022

Assignment 3


Q1 Let f (x, y) = 2 for 0 < x < y, 0 < y < 1, and 0 elsewhere, be the joint pdf of (X, Y). Show that the correlation coefficient of X and Y is ρ =  .

Q2 Let X1 , X2 , and X3  be random variables with equal variances but with correlation coefficients ρ 12  = 0.5, ρ 13  = 0.2, and ρ23  = 0.3. Find the correlation coefficient of the linear functions Y = X1 + X2  and Z = X2 + X3 .

Q3 Consider a shipment of 1000 items into a factory.  Suppose the factory can tolerate about 5% defective items. Let X be the number of defective items in a sample without replacement of size n = 10. Suppose the factory returns the shipment if X > 3.

(a)  Obtain the probability that the factory returns a shipment of items that has 5%

defective items.

(b)  Suppose the shipment has 8% defective items.  Obtain the probability that the

factory returns such a shipment.

(c)  Obtain approximations to the probabilities in parts  (a) and  (b) using appro- priate binomial distributions.

Q4 On the average, a grocer sells three of a certain article per week. How many of these should he have in stock so that the chance of his running out within a week is less than 0.05? Assume a Poisson distribution.

Q5 Suppose the lifetime in months of an engine, working under hazardous conditions, has a Gamma distribution with a mean of 5 months and a variance of 10 months squared.

(a) Determine the median lifetime of an engine.

(b)  Suppose such an engine is termed successful if its lifetime exceeds 10 months. In

a sample of 10 engines, determine the probability of at least 2 successful engines.

Q6 Let X1  and X2  be independent random variables with normal distributions N (6, 1) and N (7, 1), respectively. Find P (X1  > X2 ).

Hint:  Write P (X1   > X2 )  =  P (X1  - X2   >  0) and determine the distribution of X1 - X2 .

Q7 Let the random variable Yn  have a distribution that is b(n, p).   Prove that 1 - 


converges in probability to 1 - p.