Use a separate book clearly marked Question 1

1.   [15  marks] Suppose we want to estimate p, the proportion of Australians preferring the Coalition Party on a two-party preferred basis.  To do so, we randomly sample n registered voters from the Australian population.

For i  =  1, . . . , n,  let Xi   =  1 if a registered voter chooses to vote for the Coalition Party for the ith person and Xi  = 0 otherwise.

The random variables Xi  are i.i.d.   Bernoulli(p) random variables for some 0 < p < 1 and for i = 1, . . . , n the probability function is given by

Pr(Xi  = x) = fXi(x) = ,1(p) ← p

or equivalently by

Pr(Xi  = x) = fXi(x) = px (1 ← p)1 →x

for x = 1

for x = 0

for x = 0, 1.

Suppose we collect a random sample of n voters, resulting in observations x1 , x2 , . . . , xn . The sample proportion of the population voting for the Coali- tion Party can be computed by

pˆ =  = x.

i)   [1 mark] How is a census different from a sample?

ii)   [2 marks]  Determine the method of moments estimator of p.  Show that it is given by the sample proportion pˆ.

iii)   [3 marks]  Determine the maximum likelihood estimator of p. Show that it is given by the sample proportion pˆ.

iv)   [3 marks]  Determine the Fisher information for p.

v)   [2 marks]  Write down the large sample approximation to the distribu- tion of pˆ.

vi)   [4 marks]  Assume that n = 678 registered voters were sampled from the Australian population, and of these, 353 voters preferred the Coalition Party on a two-party preferred basis.

a)  Provide an estimate (to three decimal places) for p.

b)  Compute an (approximate) 95% confidence interval for p. You may use the fact that qnorm(0 .975)  =  1 .96.

Use a separate book clearly marked Question 2

2.   [15 marks]

i)   [3 marks]  A random variable X has density fX (x) = 2x for 0 < x < 1. Let Y = X3  and find fY (y).

ii)   [12 marks]   For some λ > 0, let X  ~ Poisson(λ), so the probability function is given by

λx e →λ

fX (x) = Pr(X = x) =     x!    ,    x = 0, 1, 2, . . .

a)  Show that      fX (x) = 1.

b)  For this part of the question, assume that the earth has experienced a long-term average of 16.25 major earthquakes per year.                 The Poisson random variable can be used to model the number of major earthquakes in a fixed period of time.

．  Suggest a suitable value of λ that could be used to model the

number of major earthquakes in a random month (a month is  of a year).

．  Using your suggested λ, calculate (to three decimal places) the

probability that no earthquakes occur in a random month.

．  There were three major earthquakes in just the first month of

2018. Using your suggested λ, calculate (to three decimal places) a probability that measures how unusual it is to have three or more earthquakes in a random month.  In plain language, com- ment on whether you think this probability is unusual.

c)  Show that the moment generating function of X is: mX (u) = eλ(eu→ 1) .

d)  Let X1 , X2 , X3 , . . . , Xk  be independent Poisson(λ) random variables. Set W = X1 +X2 +X3 + 一 一 一 +Xk . Using the moment generating func- tion of X (or otherwise) determine the moment generating function for W .

Use a separate book clearly marked Question 3

3.   [15 marks]

i)  [9 marks]   Let X and Y be random variables with the following joint density function

fX,Y (x, y) = e → (x+y)/10,    x > 0, y > 0.

a)  Determine the marginal density fY (y).

b)  Determine the conditional density function fY |X(y ) x).

c)  Are X and Y independent? (Give reasons).

d)  Calculate the expected value E ╱X + Y、.

ii)  [6 marks]  Consider Yn  which has density function given by:

fYn(y) = (n + 1)(1 ← y)n ,    0 < y < 1.

a)  Find FYn (y).

b)  Show that

E(Yn ) =    1   

c)  For 0 < i < 1, show that

n/o