PART A: Please answer FOUR questions (Total 48 points)

Exercise 1 ( 12 points)

Suppose we have a random sample of size n = 100 from a certain population. We find that sample mean X=80, sample standard deviation s=30. The           probability that population mean u falls between two points a and b is 90%.    Point a and b is symmetric to their central point.

a.  What is the range between point a and b known as? (2 points)

b.  If the population is normally distributed, select an appropriate value from table provided below and calculate values of a and b. (5 points)

c.  If  the  shape  of  the  population  distribution  is  unknown,  what  is  the expression to define the value of a and b. (5 points)

Exercise 2 ( 12 points)

You have been asked to determine if two different production processes have different mean numbers of units produced per hour. Process 1 has a mean     defined as u$  and process 2 has a mean defined as u2 . Based on technical     details, the lead engineer believes that the production performance of process 1 is at least as good as process 2’s performance, that is: process 1 produces  either the same number of units or more units than the process 2, never less. You are asked to help verify this verdict by using a random sample of 25         paired observations. We obtain sample means 56 for process 1 and 50 for      process 2. The standard deviation of the difference between two sample         means is 25. Set significance level at 5%.

a.  Formulate H'  and H$  in this hypothesis testing. (2 points)

b.  Point out the rejection region by using either critical value or significance level, illustrating it also graphically. (2 points)

c.  Calculate  the  test  statistics,  referring  to  the  data  above.  Using  test statistics approach, explain your decision in this hypothesis testing and provide a conclusion  (4 points)

d.   The following probabilities are calculated by Stata functions. Using P- value  approach,  explain your decision  in this  hypothesis testing  and provide a conclusion (4 points)

Exercise 3 ( 12 points)

In the week before final exams, the time spent on studying by students follows a normal distribution with a standard deviation of 8 hours. Now we take a         random sample of 4 students to estimate the mean study hours for the             population of all students.

There are two functions available in Stata to help calculate answers to question (a) and (b):

a.  What is the probability that the sample mean exceeds the population mean by more than 2 hours? Derive the process of solution, select an appropriate  function  provided  above  and  write  down  the  full  Stata command leading to the final answer. You do not need to perform actual calculations to obtain the results. (4 points)

b.  What is the probability that the sample mean differs from the population mean by more than 4 hours? Derive the process of solution, select an appropriate  function  provided  above,  and  write  down  the  full  Stata command leading to the final answer. You do not need to perform actual calculations to obtain the results. (4 points)

Now, suppose that a second (independent) random sample of 30 students was taken.

c.  Without doing calculations, given the larger sample size, state whether the probabilities in question (b) would be larger, smaller or the same as in the first sample with 4 students. (4 points)

Exercise 4 ( 12 points)

c. Which subsection distribution, grouped by value in variable inno, is          closer to the normal distribution? Give reason for your answer by                 commenting the numerical results shown in the statistics table above, as    well as the graphical results shown in the box-whisker graph in question (b) (4 points)

PART B: Answer TWO out of THREE questions (Total 36 points)

Exercise 5 ( 18 points)

Suppose that you’re in charge of marketing airline seats for a major carrier.    You’re focusing on the flight ticket overselling problem. Four days before the  flight date you have 16 seats remaining on the plane. You know from past      experience that 80% of people that purchase tickets in this time period will     actually show up for the flight. You are estimating the potential losses when   selling 18 tickets. Set the random variable X as the number of occupied seats on the flight day.

To help this analysis, a cumulative probability table produced by Stata function binomial(n,k,p) is provided as follows, with p=0.8 and  different values  of number of trials n and  number of success  k:

Please answer the following questions:

a.  What distribution does the random variable X comply with? Write down the formula to help calculate the probability of any number of seats X0 occupied  on the flight  day with  clear explanation  on the  parameters involved in the formula. You do not need to calculate the actual numerical results of the final answer produced from the formula (4 points)

b.  What is the probability to have 1 empty seat? 2 empty seats? 3 empty seats  and  4  empty  seats  on  the  flight  day?  Calculate  probabilities respectively for  each  scenario with  information  provided  in  the  table above (8 points)

c.  Graph the probability density function of the 4 scenarios based on your calculations in question (b). State the name of the variables which denote y and x axis in your graph. (4 points)

d.  You learned that the airline company on average suffers the following losses in values for this route in these 4 scenarios:

What is the expected value of loss caused by having number of empty seats ranging from 1 to 4? (2 points)

Exercise 6 ( 18 points)

You are joining a project on factor study in fuel economy. The project is          making good progress, where several effective factors have already been       identified by using a cross-sectional data set. You are looking for other            potential factors to explain the differences in miles per gallon a vehicle can     travel. Variable milpgal measures the miles per gallon that a vehicle can         travel. Variable price measures the selling price of vehicle. You’re                    investigating whether on average a more expensive car can travel more miles per gallon. The data set records information collected from 4 different              companies.

Please answer the following questions involved in the analysis process. You start the investigation on the impact of variable price by using the   following Stata commands. The output is also included:

a.  Explain the meaning of command gen Hprice=(price>r(mean)) as shown  above  and what  is the  range  of values  contained  in variable Hprice. (4 points)

Then you perform a hypothesis testing on the subsection data created from question (a). It is assumed that the populations for both subsections are      normally distributed.