Question 1

Consider the model

Yt  = φ 1 Yt−1 + φ2 Yt−2 + et + et−1, t = 1 , ...,T,                           (1)

with et  ⇠ i.i.d.N(0 , σ 2 ) .

1 .  (5 points) Find E[Yt], E [Yt |⌦t−1] and Var [Yt |⌦t−1] .

A: E[Yt]=0, E [Yt |⌦t−1] = φ 1 Yt−1 + φ2 Yt−2 + et−1  and Var [Yt |⌦t−1] = σ 2 .

2 .  (6 points) Discuss when the model is stationary and when it is invertible .

A: It is stationary when roots of  1 − φ 1 x − φ2 x2  are outside unit circle .  It is not invertible because the MA polynomial 1 − x has a unit root .

3 .  (7 points) Suppose Xt  = −Yt +vt , with vt  ⇠ i.i.d.N(0 , σv(2)), and Correlation(et ,vt ) =

p.   First  write  down  the  conditions  on  the  parameters  so  that  Yt  and  Xt  are cointegrated and then write down the cointegrating vector .

A:  Both  must  have  a  unit root,  so  φ 1  and  φ2  must be  such that the roots of 1− φ1 x− φ2 x2  are outside unit circle .  Then Xt  also has a unit root because it’s the sum of a unit root and a stationary process so it has a unit root .  The two variables are then cointegrated because Xt + Yt  = vt  which is stationary.  The value of p does not matter .

4 .  (7 points) Suppose φ2  = 0 .  Find the response of Yt+2  to a one-unit shock in et .

A: Yt+2  = φ 1 Yt+1 + et+2 + et+1  = φ1 (φ1 Yt + et+1 + et )+ et+2 + et+1                     = φ1(2)(φ1 Yt−1 + et + et−1)+ φ1et + et+2 +(1+ φ1 )et+1  so response is φ1(2) + φ1

Question 2

Consider the model

Yt     =    c + pYt−1  + zt}z, t = 1 , ...,T,

(2)

et

σt(2)     =                                            (3)

where zt  ⇠ i.i.d.N(0 , 1) and Wt  is an observable variable .

1 .  (6  points)  Derive  the  autocorrelation  function  of the  standardized  residuals, Yt−E[Yt|⌦ t− 1 ]

Var[Yt|⌦ t−1 ]   .

A: They equal zt , which is i .i .d . , so the autocorrelation function equals zero at all lags .

2 .  (6 points) What is the model for et(2)?

A:  It  is  a  threshold  autoregression  et(2)   =   

where vt  = et(2)  − σt(2)  is white noise since E [vt |⌦t−1] = 0  (sufficient to show this condition)

3 .  (7 points) Under which conditions is the model stationary? A: If |p| < 1, φ 1  = φ2  = φ and  |φ| < 1

4 .  (6 points) Derive the loglikelihood .

A: L = −  P  −  P log σt(2)  where

σt(2)  = (w1  + φ1 et(2)−1)1 一Wt−1  > 0) + (w2  + φ2 et(2)−1)1(Wt−1  < 0)

Question 3

Consider a SVAR(0) for the 2 ⇥ 1 vector Yt  :

A0 Yt  = "t , t = 1 , ...,T,                                             (4)

where A0  is invertible and "t  ⇠ i.i.d.N(0,I2 ) , with I2  the identity matrix .

1 .  (6 points) Consider the regression of the first element of Yt , Y1t, on the second element, Y2t:  Y1t  = βY2t +ut .  Briefly explain how you would test the hypothesis that β = 0 and which standard errors you would use .

A: Because the regressors and errors are i .i .d . , we can estimate β by OLS and use  standard  inference  based  on  asymptotic  normality with  conditionally  ho- moskedastic standard errors .  Compare t-stat to critical values from the stan- dard normal distribution .

2 .  (6 points) Write down the impulse response function  (the response of all vari- ables to all shocks) for horizons h = 0 , 1 , 2 as a function of the model’s param- eters .

A:  The  responses  for  h =  0  are the  elements  of A0(−)1  and they  equal  zero  for h > 0

3 .  (6  points)  Briefly  explain why  A0  is  not  identified .   Then  give  an  example  of assumption(s) that would identify A0  and explain in words its/their meaning .

A: Because knowledge of ⌦ = var(Yt )  (3 elements) is not enough to pin down A0   (4  elements) .   You  thus  need  one  identifying  restriction,  for  example  A0 upper triangular, meaning that Y1  does not react contemporaneously to "2

4 .  (7 points) Under the identifying restriction(s) you chose in question 3 .3, explain how you would estimate the impulse response function for Y2,t+h  with respect to a unit shock in "1t , for h = 0 , 1 , 2.

A: Under the upper triangular identifying restrictions the impulse response for h = 0 is the  (2,1) element of A0(−)1 , where A0(−)1 is estimated  as the matrix  B in the Cholesky decomposition ⌦ = var(Yt ) = BB\  with B upper triangular .  The impulse response is zero for h > 0