Answer all questions .

Section A

1.        (1)  Let f (北) = cos 北. Using the limit definition of the derivative only, show that f\ (0) = 0.

(2)  Compute the following limits (a)

北2 + 5 − e_  

lim

(b)

北2 + 5 − e_  

z →o         北2 + 2

.

(15 marks)

2.  Compute the following integrals (a)

t11 sin(t6 )dt

(b)

2北3 − 7北2 + 13北 − 9

d北

(北2 + 1)(北 − 2)2

.

(15 marks)

 

3.        (a)  Find all the critical points of the function

g(北, y) = 3北y2 + 北3 − 3y2 − 3北2 + 2

(b)  For each critical point of g, determine whether it is a local minimum, a local maximum, or a saddle point.

.

(15 marks)

 

Section B

4.        (a)   (1)  Let

f (北, y) = 7y2 + sin(3北) − 12 + y4

Use the implicit function theorem to show that the equation f (北, y) = 0

[with f (北, y) as above] can be rewritten as y = g(北).

(2)  Find an expression for g\ (北) in terms of 北 and g(北).

(b)  Find the first three nonzero terms of the Taylor expansion of

1     

1 + 北9

about 北 = 0.

.

(20 marks)

 

5.  Consider the system A北 = b where

A =           1(1)  ．(、)     北 =     ．(、)     and       b =      ．(、)

(a)  Construct the matrix (A   b) and find its row reduced echelon form. (b)  Find all solutions of the system A北 = b.

(c) What is the rank of A?

(d)  Find the determinant of A.

(e) Is the matrix A invertible? If so find the inverse A_1  of A.

.

(20 marks)

 

6.        (1)  Determine whether or not the following series converge or diverge. Jus- tify your answer.

(a)

sin(2n)

n=1

(b)

o           7n

( −3)n+1n

n=1

(2)  Determine for which values of 北, the series converges or diverges

o      (北 − 4)n    

(n + 1)3n+1

n=0

 

.

(15 marks)