There is no guarantee that the questions you see here will appear on the final exam.   Furthermore, by no means are these questions comprehensive.  However, they are good practice questions.  In addition to attempting these questions, please review all your class notes, homework questions, and midterms/quizzes in preparing for the final exam. Good luck!

1. True or False?

a)  (x + y)3  = x3 + y3

b) If f\ (x) < 0 and f\\ (x) > 0 for all x then f is concave down.

c)  e-x  is negative for some values of x.

d)  (ln x)5  = 5 ln x for all x > 0.

e) If lim f (x) = 0 and lim g(x) = 0 then lim          does not exist.

f) If f (x) is any function such that lim f (x) = 6 then  lim f (x) = 6. x→2                                     x→2＋

g) If f\ (c) does not exist and f\ (x) changes from positive to negative as x increases through c, then f (x) has a relative minimum at x = c.

h) If f has a vertical asymptote at x = 1 then lim f (x) = L, where L is a finite value. x→ 1

2. Find each indicated limit, if it exists. If a limit does not exist, write “does not exist”, “+&”, or “ - &” as appropriate..

x3 - x2

x→ -1    x - 1

x + 2

x→2 −  x - 2

^x2 + 4 - 2

x→0             x2

d)   lim ln(x - 5) x→5＋

|x - 2|

x→2   x - 2

4 - ^s

s→ 16  s - 16

3. Use the definition of the derivative to find the derivative of f (x) = 5x - 1.

4.  Show that f (x) = |x| is not differentiable at x = 0.

5. Use the Intermediate Value Theorem to show that x4  + 5x3  + 5x - 1 = 0 has at least one solution in the interval (-6, 0).

x    

7. Find the points on the curve y = 2x3 + 3x2 - 12x + 1 where the tangent is horizontal.

8. Find the equation of the tangent line to the curve y = x4 - 2ex  at (0, -2).

9. Differentiate.

a)  f (x) = (2x + 1)101 (5x2 - 7)

b) g(x) = ╱ 、3

10. Find h\ (π) if h(x) =        1       

11. Find all values of x for which the line that is tangent to y = 3x - tan x is parallel to the line y - x = 2.

dy

12. Find

sec(xy) = y

13. Differentiate with respect to x:

f (x) = 2sin(πx)

14. Use logarithmic differentiation to find the derivative of the following functions.

a) y = xx

b) y = (ln x)x

15. Two cars start moving from the same point. One travels south at 60km/h and the other travels west at 25 km/h. At what rate is the distance between the cars increasing two hours later?

16. A street light is mounted at the top of a 15-foot pole. A man 6 feet tall walks away from the pole with a speed of 5ft/s along a straight path. How fast is the tip of his shadow moving when he is 40 feet from the pole?

17. Find the absolute maximum and absolute minimum values of f on the given interval.

a)  f (x) = 3x2 - 12x + 15, [0, 3]

b) g(x) = x^4 - x2 , [-1, 2]

x2      

price by the equation

p =

0 ≤ x ≤ 20

where p is measured in hundreds of dollars and x in units of a thousand.

a) Find the revenue function R.

b) Find the marginal revenue function R\ .

c)  Compute R\ (2) and interpret your result.

21. The demand equation for a certain product is x = 500 - 10p.

a) Is the demand elastic, unitary, or inelastic when p = $30?  Based on your answer, should the company decrease or increase the price to increase revenue?

b) What is the approximate percent change in the demand if the price is $30 and increases by 4.5%?

22. A bacteria culture starts with 500 bacteria and grows at a rate directly proportional to its size. After 3 hours there are 8000 bacteria.

a) Find the number of bacteria after 4 hours.

b) When will the population reach 30,000?

23. After 3 days a sample of radon-222 decayed to 58% of its original amount.

a) What is the half-life of radon-222?

b) How long would it take the sample to decay to 10% of its original amount?

24.  [Recall that the area of a circle is A = πr2 , where r is the radius of the circle.] When a pebble is dropped in a pool of still water, it produces a circular wave whose radius expands outward at a rate of 15 cm/s. At what rate is the aTea inside the wave increasing when

a) the radius is 5cm?

b) the area is 400 π cm2 ?

25. Find the indicated limits.

et - 1

t→0      t3

ln x

ex

d)  lim x3 e-x2 x→o

e)   lim

26. The top and bottom margins of a poster are 6 cm each and the side margins are 4 cm each. If the area of printed material on the poster is fixed at 384 cm2 , find the dimensions of the poster with the smallest area.

27. A farmer wants to fence an area of 1.5 million square feet in a rectangular field and then divide it in half with a fence parallel to one of the sides of the rectangle. How can he do this so as to minimize the cost of the fence?

28. By cutting away identical squares from each corner of a rectangular piece of cardboard that is 15cm long and 8 cm wide, and folding up the resulting flaps, an open box is made.  Find the dimensions of the box that will yield the maximum volume.

29. A population of beetles is introduced into a field.  The number of beetles in the population is

2t2 + 12

t2 + 2

after t months. If the experiment is run for 3 months, what is the absolute maximum number of beetles in the field?