1.    a)   [2 marks]  Suppose that M e Mm. (R). Define the following terms:

i)  the column space of the matrix M, col(M).

ii)  the nullspace of the matrix M, null (M)

b)   [5 marks]  Let b = (b1 , b2 , b3 , b4 ) e R4  and

You may assume that the row echelon form of the matrix ╱A , b、is R.

i)  State the dimension of the column space of the matrix A, col(A).

ii)  State the dimension of the nullspace of the matrix A, null (A).

iii)  What are the conditions on the components of the vector b such that b e col(A)?

iv)  Find a matrix C such that col(A) = null (C).

c)   [7 marks]  Let

╱ 1(1) B =  ．(．) 1 ．1

2(1)、

5(4)．． .

i)  Find a QR factorisation of B using the Gram-Schmidt algorithm.

ii)  Hence or otherwise, find the line y = a+ bx that best fits, in the least squares sense, the points (1, 1), (2, 0), (4, 2), (5, 5).

d)   [6 marks] Let S =,(1, -1, -1, 1), (1, 1, 1, 1)、and consider the subspace W = span(S) of R4 .

i)  Is the set S an orthogonal basis for the subspace W?

ii)  Find the orthogonal complement Wl .

iii)  Find  the  projection  of the  vector  e1    =  (1, 0, 0, 0)  onto  the  sub- space W .

iv)  Find the projection of the vector x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) onto the sub- space W .

v)  Let P : R4  → R4  be the projection on the subspace W .  You may assume that P is a linear map. Find the matrix of P with respect to the standard basis.

2.    a)   [2 marks]   For x e R3 , give definition of the co-ordinate vector  [x]m with respect to a basis B = {v1 , v2 , v3 }.

b)   [4 marks]  Let v1  = (1, -1, 0), v2  = (0, -1, 2), v3  = (1, 0, -1) and let B = {v1 , v2 , v3 }. You may assume that B is a basis in R3 . You may also assume that

╱   1      0      1   、                            ╱ -1   -2   -1 、

M =  ．   -1   -1     0     ．      ÷     M_ 1  =  ．     1       1       1     ．

0      2    -1                                    2      2      1

i)  Find co-ordinate vectors [e1]m , [e2]m , [e3]m , where {e1 , e2 , e3 } is the standard basis in R3 .

ii)  let T : R3  → R3  be a linear map such that

T (v1 ) = 2v1 ,    T (v2 ) = v1 + 2v2 ,    T (v3 ) = v2 + 2v3 .

Find the matrix of the linear map T with respect to the basis B = {v1 , v2 , v3 }.

c)   [6 marks]  Let A e M.. (R) be a square matrix.

i)  State the (Ay1/y-丑Am:1t。n 礻方/。r/m.

ii)  Give definition of the m:n:mA1 p。1yn。m:A1 of matrix A.

iii)  State the F:n:mA1 才。1yn。m:A1 礻方/。r/m.

d)   [8 marks]  Let A e M3B3 (R) be given by

╱ 1    2      2   、

A =  ．   2   -2     1     ．

8   -4   -7

i)  Find the characteristic polynomial of the matrix A.

ii)  Verify that λ = -3 is an eigenvalue of A.

iii)  Find the minimal polynomial of the matrix A.

3.  Let F (x, y) = 7x2 - 12xy + 2y2 .

a)   [9  marks]   Write  F (x, y) as a sum of scalar multiples of squares of independent linear combinations of x, y .

b)   [6 marks]  Draw a careful sketch of the curve F (x, y) = 1 in the principal coordinate plane. Make sure that you have:

i)  identified the curve by name;

ii)  labelled every principal axis;

iii)  identified every intersect;

iv)  drawn every asymptote;

v)  identified slope of every asymptote.

c)   [5 marks]  Draw a careful sketch of the curve F (x, y) = 1 in the (x, y) coordinate plane. Make sure that you have:

i)  drawn the principal axes of the curve;

ii)  labelled principal axes;

iii)  identified slope of every principal axis;

iv)  drawn every asymptote.

4.    a)  [10 marks]  Let

D =  ╱ 6-2

( 2

5    -1．     and   v =  (-3． .