ANSWER ALL SIX QUESTIONS

1.   Let (xn )neN  be a convergent sequence of real numbers with xn  ----→ L, where L > 0.

n1+北_

n=1

converges.                                                                                                         

2.

(a) Let a, b e R, a < b. Let f : [a, b] → R be continuous in [a, b] and twice differentiable in

(a, b). Let A and B be the points with coordinates (a, f (a)) and (b, f (b)) respectively. If the line segment with endpoints A and B intersects the graph of f at a point P with P  A, B (see figure 1), prove that there exists a real number c in the interval

(a, b) such that f\\ (c) = 0.                                                                         

Figure 1: Plot for Question 2a.

(b) Let a = -4, b = 1 and f (x) = l北(1)l . The points A(-4, ) and B(1, 1) are on the graph

of f and the line segment with endpoints A and B intersects the graph at a third point P (see figure 2). However, there is no point c in the interval (-4, 1) such that f\\ (c) = 0.  (You are not asked to prove that AB intersects the graph, nor that f\\ doesn’t vanish).

Explain why this doesn’t violate the result of part (a).                          

3.

(a) Prove, by verifying the ε-δ property (Ross 17.2), that f (x) =             is continuous

(b) Let f  :  [-1, 1]  →  [-1, 1] be continuous.   Recall that by the Intermediate Value

Theorem, there exists at least one x e [-1, 1] such that f (x) = x.   (You are not asked to prove this.)

(i) Prove that if in addition to continuity we have |f (a) - f (b)| < |a - b| for all a, b e [-1, 1], a  b then there exists a unique x e [-1, 1] such that f (x) = x.

(ii) In the setting of part (b)(i) either prove that f is monotone or give a carefully

justified example of such a function f which is not monotone.

4.    Let G = GL(2, R) be the group of 2 × 2 invertible matrices under the operation of matrix multiplication, and consider the subset H c G of all matrices of the form (z(1) 1(0) ), with x e R.

(a)  Show that H is a subgroup of G.                                                       

(b) What familiar group is H isomorphic to? Show that H is indeed isomorphic to that

group.                                                                                                    

5.    In each of the following cases state whether the given statement is TRUE or FALSE and provide a justification, including specific counterexamples where appropriate.

(a) The function f  : S3  → Z3  defined by f (τ ) = o(τ ) - 1 is a group homomorphism.

Here, o(τ ) represents the order of the permutation τ .

(b) The groups Z8  × Z10  and Z40  × Z2  are isomorphic.

(c) All proper subgroups of D13  are cyclic. (Recall that a proper subgroup is a subgroup that is not equal to the whole group.)          

6.    Consider the following graph:

Let G denote its group of symmetries. Justify all your answers to the questions below.

(a) How many symmetries does the graph have?                                      

(b) Identify the symmetry group G (in terms of groups you have encountered in FPM).

(c) Let X denote the set of nine edges of the graph.

Is the action of G on X faithful?

Is the action of G on X transitive?