Question A1 (10 marks):

1. A monopolist has the possibility of discriminating between two di§erent groups of customers:  domestic (market x) and international (market y).  The corresponding demand functions are respectively:

Qx     =   12 一 Px

Qy     =   8 一 Py

where Px  and Py  are the prices in the domestic and foreign markets respectively and where Qx and Qy  are the quantities in the domestic and foreign markets respectively. Marginal and average costs are constant and equal to 2.

What price(s) will the monopolist charge in order to maximise proÖts (in each of the following cases):

(a) With price discrimination between markets?

(b)  Without price discrimination?

2. What is the di§erence in proÖts between the two cases?  Give an economic expla- nation.

Question A2 (10 marks):   A Örm operating under perfect competition has a production function given by:

Q(L;K) = 2LK 

suppose p = 4 is the price of the output, w = 2 is the wage rate and r = 2 is the unit cost of capital. K > 0 is capital and L > 0 is labour.

1. Find an expression for total proÖt as a function of L and K .

2. Find the critical point of this total proÖt function.

3.  Show that this critical point is a global maximum (use a Hessian matrix).

Question  A3    (10  marks):   A consumer has the following utility function,  which depends on the consumption of two goods, x1  (apples) and x2  (pears):

U = x1(2)x2(3)

Maximise the utility function, using the Lagrangian method, when the prices of x1 and x2  are p1  = 2 and p2  = 3 respectively and income is B = 12.

1. Find the optimising values of x1  and x2 .

2. What are the optimising values of x1  and x2  when p1  = 4, p2  = 4 and income is B = 8?

Question B1 (5 marks):

1. If a principal sum of f50; 000 is invested at a 3.5% interest rate for 10 years what will be its future value if interest is compounded (a) twice per year, (b) monthly,

(c) continuously. Give the explicit formula before you evaluate it.

2. How much would you need to have deposited in a bank account 10 years ago in order to have f90; 000 today, given an interest rate of 3% per year compounded continuosly over that time period?

Question B2   (10 marks):   Use logarithmic di§erentiation to Önd the derivative of

y   =

y   =

Question B3 (10 marks):   In this question Q is output.  Using integration calculate the following:

1.  Given the Marginal Revenue (MR) function:

MR = 2Q + 3Q2

Önd Total Revenue (TR) when sales are (i) 4 and (ii) 9.

2.  Given the following Marginal Cost (MC) function:

MC = 3Q2 一 2Q + 2

Önd Total Variable Costs (TVC) when Q is (i) 4 and (ii) 10.

3.  Given the following demand function PD   =  113 一 Q2   and the Supply function PS  = (Q + 1)2  under pure competition, Önd:

1) the Consumer Surplus;

2) the Producer Surplus.

Question B4 (10 marks):   Integrate the following functions: :

a) F (x)   =

b) F (x)   =

15x . e5x2 +3 dx

5x(x + 1)4 dx

Question C1  (5 marks):   Solve the following systems of equations using the inverse A — 1  (where a solution exists; otherwise, indicate if a solution does not exist):

1.

3y + 7x   =   45

4x + 5y   =   29

2.

y   =   3x + 1

4x 一 2y = 0

Question C2   (10 marks):   Consider the matrix

┌   4      1     一5 ┐

A =  '  一2     3       1    '

'   3     一1    4   '

1.  Calculate the inverse A — 1  of the matrix A.

2.  Solve the simultaneous system of equations

4x + y 一 5z   =   8

一2x + 3y + z   =   12

3x 一 y + 4z   =   5

Question C3 (10 marks):   Consider the matrix

┌ 8   3   2 ┐

A =  ' 6   4    7   '

' 5   1   4 '

1.  Calculate the determinant of the matrix A using the Sarrus rule.

2.  Calculate the determinant of the matrix A using the Expansion by Cofactors method.