SECTION A

A1.  Use mathematical induction to prove that the sum of the irst N odd natural numbers is equal to N2 , that is

1 + 3 + 5 + · · · + (2N − 1) = N2 ,

for all natural numbers N .

A2.  Write the complex number

z = 2e2iT/3  − e —iT/3

in exponential form.

A3.  Sketch the set in the complex plane

M = {z ∈ C :  |Re(z)| < 1,   |z| > 1}.

A4.  Is the sequence (an ) deined by an  = 2019n /2018n  for n ≥ 1 bounded (bounded above, bounded below)?  Is it convergent?  Is it decreasing or increasing?

2n2 + 1     

n→∞                                                                       n2  − 1       10 + 3n5  .

A6.  When  is an  ininite series called absolutely convergent?   What can you say about the convergence of an absolutely convergent ininite series?

A7 .  Find the equation for the sphere with centre at C = (3, −2, 1) and passing through the

point P = (1, − 1, 5) .

A8.  Compute the vector product of a = (3, 1, 0) and b = (1, − 1, −3) and ind a unit vector

SECTION B

B1.    (a)  Deine the modulus |z| and argument arg(z) of the complex number z = x + iy . Write the  modulus  and argument of the  ratio  z/w of two  complex  numbers  in terms of arg(z), |z|, arg(w) and |w|.

(b)  Find two complex numbers z and w such that

zw = 3 + i^3,    arg(z) = −T/6,    |w| = 1.

(c)  Sketch the set M deined by

M = {z ∈ C : Im(z) < 1,    T/4 < arg(z) < 3T/4}.

(d)  State Euler’s formula and use it to derive the double-angle formulae for the sine and cosine.

(e)  Find all complex roots of the equation

z6  − 1 − i = 0.

B2.    (a)  Consider the ininite series

∞

工 qk ,

k=0

where q ∈ R.

Show –  using induction or otherwise – that for the partial sums sn  = 之k(n)=0  qk , we have

1 − q    .

(b)  Discuss the convergence of the series 之 qk   in its dependence on q .  Determine its sum for the values of q such that the series converges.

(c)  Geometric series can be used to obtain expressions for rational numbers, given in

decimal form, as the ratio of two coprime integers.

For x = 0.123123123 · · · = 0.123 we can also write

x = 123/1000 + 123/1000000 + 123/1000000000 + ...

Use this to express x as the ratio of two coprime integers.

(d)  For x ∈ R, a function f is deined as an ininite series

∞

f(x) =工 (3^3x)k . k=0

Using the ratio test or otherwise, show that the series converges for − 1/27 < x <

(e)  Determine f(x) (i.e., the value of the sum) for − 1/27 < x < 1/27.

B3 .  Consider the plane S given by x − 2y + 3z = 5, the line L given by (1 − 3t,2 + t,4 + t) ,

t ∈ R, and the point P = (1, 4, −3) .

(a)  Find the coordinates of the intersection point Q of S and L.        (b)  Find the coordinate equation of the plane T containing P and L.

(c)  Compute the cosine of the angle between the planes S and T .

(d)  The line through P orthogonal to the plane S intersects S in the point R.  Find R and compute the distance from P to S .

(e)  Obtain the equation of the sphere with centre P which touches the plane S .