Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Advanced Microeconomics 6QQMN970 21-22

Problem Set 2

1    Exercise 1

Recall the music externality situation from Problem Set 1.  Two individuals live next door to each other.  Individual 1 enjoys the consumption of a private good Y, and listening to music. Individual 1’s joy from the music is represented by the variable h, which measures the

volume of the music. Listening to music costs nothing to individual 1. Individual 2, however, does not like the music that individual 1 plays, which in fact makes him rather miserable.

Individual preferences can be represented by the following utility functions:

U1 (Y1 , h) = Y1 + v1 (h)

U2 (Y2 , h) = Y2 + v2 (h)

where:

v1 (h) = 60 + 40h − 4h2

v2 (h) = 5 − h2

As before, the price of a unit of Y is pY   =  1 and individual incomes are I1   and I2 , respectively.

1.  Suppose individual 2 is granted the right to a quiet environment (i.e. the starting point is h = 0). However, individual 1 can offer to pay individual 2 a sum of T pounds for the right to enjoy music at volume h > 0. Write down and solve individual 1’s optimization problem and find the level of noise (or music) h that would be selected.

2.  Show that the same level h is chosen when the property right resides with individual 1 (i.e.  the starting point for negotiations is the optimal h for individual 1), and it is individual 2 who offers to pay individual 1 T pounds to reduce h.

2    Exercise 2

The Bloomsbury Lodge has two residents, Anna and Bob, who do not talk to each other.

The Lodge has a garden that is currently maintained solely by the individual contributions

of these two residents. Each of resident i has a utility function over private goods (Xi ) and the total number of owers in the garden (G) of the form: Ui (Xi , G) = 2log(Xi ) + log(G).

The total number of owers, G, is the sum of the number bought by each of the two residents: G = gA + gB .

Anna and Bob both have the same income of I , and the price of both the private good and a ower is 1. As neither has an overdraft arrangement, they are both limited to providing between 0 and I owers.

1. How many owers are there in the garden in equilibrium (assuming the management does not intervene)? Denote this quantity by Gprivate

● By equilibrium we mean that each resident chooses the optimal number of owers to buy, taking as given the number of owers bought by the other resident.

2. Derive the condition for a Pareto optimal level of G:

(a) Write down the optimization problem.

(b)  Solve for the rst order conditions.

(c)  Show that the solution satisfies Samuelson’s condition for the efficient provision of public goods.

(d) What is the efficient number of owers?  (note this is a function of I).  If your answer differs from your answer to (1), explain why.

3. The management is not happy with the private equilibrium, and decides to provide 10 more flowers, where 10 < Gprivate . The cost of these additional owers is divided equally between Anna and Bob. What is the new total number of owers in equilibrium? Have

we achieved the social optimum? Why or why not?