1.        (a)  Find all prime numbers p e N for which the equation x2  = 43p + 4 has solutions x e Z.

(b)  Find all solutions to the congruence

3x3 - 2x2 + 2 = 0   mod 30.

(c)    (i)  Show that 5 is a primitive root mod 43.  Is 5 a primitive root mod 2021?  (Note that 2021=43*47.)

(ii)  Does the equation 5x4 + 43 = y4  have any solutions in Z? How about 5x3 + 43 = y3 ?

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2.        (a)  Compute the Legendre Symbol  ╱ 、.  (Note: 863 is a prime number.) State clearly all the properties presented in the lecture notes that you are using.

(b)  Let p e N be a prime number such that 7 is a quadratic residue mod p. Show that the equation 2x2 + 2x + 11 = p has no solutions in integers.

(c)  Let p e N be and odd prime. Recall the Gauss sum, G(p) =a(p)1(1) ╱ 、ζp(a) ,

from lectures.

Now consider

G2 (p) :=a(p)1(1) ╱ 、ζ

Show that

G2 (p) = G(p) 令 p = 士1   mod 8.

(d)  Let p e N be a prime number, p = 1  mod 12. Evaluate the sum

p塞1                   ╱ 、.

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3.        (a)  Let p e N be a prime number, p  5, and let n e N.  Determine the number of solutions to the congruence

5x2 + 3x + 1 = 0   mod pn .

(b)  Determine whether the following series converge 3-adically or not.  Justify your answer.

三     3n2             三      3n2

n=1  (n!)n , n=1  (n2 !)3 .

(c)  Find a solution to each of the following congruences: x7  = 50   mod 74 ;

26p  = 51   mod 55

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4.        (a)  Find 2 solutions in positive integers to the equation x2 - 26y2  = 10.    (b)  Find two distinct factorizations of 10 into irreducible elements in Z[^26]

and hence deduce that Z[^26] is not a unique factorization domain.          (c)  Let p e N be a prime number, p = 5  mod 12. Show that if pl(x2 +xy +y2 ),

for some x, y e Z, then p2 l(x2 + xy + y2 ).

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