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MSIN0022

Mathematics III (Probability Theory)

Assignment 4

1.  [10 points] If event A and B are independent, show that

• A and Bc

• Ac  and B

• Ac  and Bc ,

where Ac  and Bc  are complements of A and B respectively, are also independent.

2.  [20 points] A black cab driver provides service to two zones 1 and 2 in London. Customers picked up in Zone 1 will have destination in Zone 1 with probability 0.8 or in Zone 2 with probability 0.2. Customers picked up in Zone 2 will have destination in Zone 1 with probability 0.3 and destination in Zone 2 with probability 0.7.  The driver’s expected profit for a trip entirely in Zone 1 is £8; for a trip entirely in Zone 2, it is £10; and for a trip between the two zones it is £12. Let the Markov chain {Xn , n ≥ 0} be defined so that Xn  is the origin of the nth  trip.

(a)  [10 points] Find the transition probability matrix and stationary probability vector π

of this Markov chain.

(b)  [10 points] Find the driver’s expected profit per trip.

3.  [30 points]. A Markov chain {Xn , n ≥ 0} with states 0, 1, 2, has the transition probability

matrix

P =  ! #

"1/2      0      1/2$ .

If P(X0 = 0) = 1/4 and P(X0 = 1) = 1/2,

(a)  [15 points] find E[X4].

(b)  [15 points] show if the Markov chain is irreducible. If it is, find the stationary proba-

bilities and compute E[Xn] when n → ∞ .

4.  [40 points]. An urn always contains 2 balls, and ball colors are either red or blue. At each stage, a ball is randomly chosen (i.e., each ball chosen with probability 0.5) and replaced by a new ball. The new ball is with probability 0.6 of the same color as the ball it replaces, and with probability 0.4 the opposite color as the ball it replaces.

(a)  [20  points] If initially both balls are red,  find the probability that the fourth ball

selected is blue.

(b)  [20 points] If you can not observe ball colors in the urn, find the probability that a

blue ball is selected after a large number of selections.