1.  The volume of a cone with radius r and height h is

πr2 h

3   .

Find a region in the first quadrant that, when rotated around one of the axes, produces a cone.  Then set up two different integrals that gives the volume of this solid, one with the disc method (washers) and one with the method of cylindrical shells (tubes). Explain your reasoning. You can include diagrams to support your reasoning.

2. Let {aa( and {ba( be sequences. We define a new sequence {ca( as follows: {ca( = {a0 , b0 , a1 , b1 , a2 , b2 , . . . (.

In other words,  {ca(  is the sequence obtained by alternating between the terms of {aa(  and {ba( .

(a) For each of the following implications, determine if it is true or false. If it is true, then give a proof.

If it is false, then provide a counterexample. You must justify why your counterexample works.

i. IF {aa( and {ba( are bounded, THEN {ca( is bounded.

ii. IF {aa( and {ba( are both increasing, THEN {ca( is increasing.

(b) Let L be a real number. Prove that IF

lim aa = L       and         lim ba = L,

THEN

an→

3. Find all values of a > 0 for which the integral

0              xa         dx

is convergent.